高中数学第一章集合与函数概念函数的奇偶性课件新人教A版必修.ppt

1 3 2奇偶性 1 函数的奇偶性 1 定义 奇函数 设函数y f x 的定义域为D 如果对于D内的任意一个x 都有 则这个函数叫做奇函数 偶函数 设函数y g x 的定义域为D 如果对于D内的任意一个x 都有 则这个函数叫做偶函数 x D 且f x f x x D 且g x g x 2 性质如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以为对称中心的对称图形 反之 如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于对称 则这个函数是偶函数 坐标原点 坐标原点 y轴 y轴 3 判断奇偶性 f x x f x x2 x 1 f x x 1 x 1 答案 偶 既是奇函数 又是偶函数 非奇非偶 奇 2 用定义判断函数奇偶性的步骤是 1 求定义域 看定义域是否关于原点对称 若定义域关于原点不对称 则为非奇非偶函数 0 0 奇 本节重点 奇偶函数的概念及图象的对称特征 本节难点 利用函数奇偶性的概念和图象的对称性 证明或判断函数的奇偶性 对于函数奇偶性的讨论 学习时应把握下述几点 函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的 考察一个函数y f x 是否具有奇偶性 不仅考察f x 与f x 之间的关系 更应考察函数的定义域是否关于原点对称 以函数的奇偶性作为划分标准 可将函数分为四类 偶函数 奇函数 既是奇函数又是偶函数 非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数的函数f x 一定是常数函数f x 0 但f x 0不一定既是奇函数也是偶函数 须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件 奇函数y f x 若在x 0处有定义 则一定有f 0 0 综合函数的单调性与奇偶性 可得以下常用的两个结论 奇函数在区间 a b 和 b a 上有相同的单调性 偶函数在区间 a b 和 b a 上有相反的单调性 ab 0 有时也用奇偶函数的性质来判断 偶函数的和 差 积 商 定义域符合要求 仍为偶函数 奇函数的和 差为奇函数 两个奇函数的积 商为偶函数 有些判断奇偶性的题目 须先化简f x 的表达式 观察其特点 然后再进行判断 例1 判断下列函数的奇偶性 分析 利用函数奇偶性定义来判断 f x 为奇函数 2 f x 定义域为R 且f x x 2 1 x2 1 f x f x 为偶函数 3 定义域为 f x x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x 为偶函数 4 定义域为 f x 2x 1 f x f x 且f x f x f x 为非奇非偶函数 5 定义域为 1 定义域不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 f x 为偶函数 判断函数f x x a x a a R 的奇偶性 解析 f x 的定义域为R 当a 0时 f x x a x a x a x a f x f x 为奇函数 当a 0时 有f x 0 f x 既是奇函数又是偶函数 例2 已知函数y f x 的图象关于原点对称 且当x 0时 f x x2 2x 3 试求f x 在R上的表达式 并画出它的图象 根据图象写出它的单调区间 分析 由函数图象关于原点对称可知y f x 是奇函数 利用奇函数性质可求得解析式 解析 函数f x 的图象关于原点对称 f x 为奇函数 则f 0 0 设x 0 则 x 0 x 0时 f x x2 2x 3 f x f x x2 2x 3 x2 2x 3于是有 先画出函数在y轴右边的图象 再根据对称性画出y轴左边的图象 如下图 由图象可知函数f x 的单调递增区间是 1 1 单调递减区间是 1 0 0 1 已知函数f x 为偶函数 且当x0时 f x 答案 x 1 解析 x 0时 x 0 f x x 1 又 f x 为偶函数 f x x 1 例3 已知b a 0 偶函数y f x 在区间 b a 上是增函数 问函数y f x 在区间 a b 上是增函数还是减函数 分析 由函数的奇偶性进行转化 解析 设a x1 x2 b 则 b x2 x1 a f x 在 b a 上是增函数 f x2 f x1 又f x 是偶函数 f x1 f x1 f x2 f x2 于是f x2 f x1 故f x 在 a b 上是减函数 点评 由函数单调性和奇偶性的定义 可以证明在关于原点对称的两个区间上 偶函数的单调性恰是相反的 奇函数的单调性是相同的 1 已知函数y f x 是定义在R上的偶函数 在 2 6 上是减函数 比较f 5 与f 3 的大小结果为 2 如果奇函数f x 在区间 1 6 上是增函数 且最大值为10 最小值为4 那么f x 在 6 1 上是增函数还是减函数 求f x 在 6 1 上的最大值和最小值 答案 1 f 5 f 3 解析 1 f x 是偶函数 f 5 f 5 f x 在 2 6 上是减函数 f 5 f 3 f 5 f 3 2 设 6 x1 x2 1 则1 x2 x1 6 f x 在 1 6 上是增函数且最大值为10 最小值为4 4 f 1 f x2 f x1 f 6 10 又 f x 为奇函数 4 f x2 f x1 10 10 f x1 f x2 4 即f x 在 6 1 上是增函数 且最小值为 10 最大值为 4 例4 已知偶函数f x 图 1 和奇函数g x 图 2 在y轴右边的一部分图象 试根据偶函数和奇函数的性质 分别作出它们在y轴左边的图象 解析 1 根据偶函数图象关于y轴对称的性质 画出函数在y轴左边的图象 如图 1 2 根据奇函数的图象关于原点对称的性质 画出函数在y轴左边的图象 如图 2 1 如图 是奇函数y f x 的部分图象 则f 4 f 2 2 如图 是偶函数y f x 的部分图象 比较f 1 与f 3 的大小的结果为 答案 1 2 2 f 3 f 1 解析 1 奇函数的图象关于原点对称 且奇函数f x 图象过点 2 1 和 4 2 必过点 2 1 和 4 2 f 4 f 2 2 1 2 2 偶函数f x 满足f 3 f 1 f 3 f 1 点评 1 可由奇函数的性质 先去掉函数记号 f 内的负号 f 4 f 2 f 4 f 2 f 4 f 2 2 1 2 辨析 要判断函数的奇偶性 必须先求函数定义域 看定义域是否关于原点对称 有时还需要在定义域制约条件下将f x 进行变形 以利于判定其奇偶性 一 选择题1 下列函数不具备奇偶性的是 答案 C 2 下列命题中真命题的个数为 1 对f x 定义域内的任意x 都有f x f x 0则f x 是奇函数 2 对f x 的定义域内的任意x 都有f x f x 0 则f x 是偶函数 A 1B 2C 3D 4 答案 D 解析 四个命题都正确 故选D 3 若函数y f x 为奇函数 则下列坐标表示的点一定在函数f x 的图象上的是 A a f a B a f a C a f a D a f a 答案 D 解析 f a f a 点 a f a 在y f x 的图象上 故选D 4 已知y f x 是奇函数 且方程f x 0有六个实根 则方程f x 0的所有实根之和是 A 4B 2C 1D 0 答案 D 解析 奇函数的图象关于原点对称 方程f x 0的六个根 即f x 图象与x轴的六个交点横坐标 它们分布在原点两侧各三个 且分别关于原点对称 和为0 5 已知f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 则f x 在 5 2 上是 A 增函数B 减函数C 部分为增函数 部分为减函数D 无法确定增减性 答案 A 解析 f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 m 0 f x x2 3 因此f x 在 5 2 上为增函数 故选A 6 偶函数y f x 在区间 4 1 是增函数 下列不等式成立的是 A f 2 f 3 B f f 答案 D 二 解答题7