高中数学用二分法求方程的近似解课件人教版必修-1.ppt

知识探究 一 二分法的概念 思考 从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 如图 设闸门和指挥部的所在处为点A B B 6 这样每查一次 就可以把待查的线路长度缩减一半 1 首先从中点C查 2 用随身带的话机向两端测试时 发现AC段正常 断定故障在BC段 3 再到BC段中点D 4 这次发现BD段正常 可见故障在CD段 5 再到CD中点E来看 二 方法探究 1 不解方程 如何求方程的一个正的近似解 精确到0 1 例1 不解方程 求方程X2 2X 1 0的一个正近似解 分析 设先画出函数图象的简图 如何进一步有效缩小根所在的区间 第一步 得到初始区间 2 3 第二步 取2与3的平均数2 5 第三步 再取2与2 5的平均数2 25 如此继续取下去 若要求结果精确到0 1 则何时停止操作 f 2 02 x1 3 f 2 02 x1 2 5 f 2 25 02 25 x1 2 5 f 2 375 02 375 x1 2 5 f 2 375 02 375 x1 2 4375 2 375与2 4375精确到0 1的近似值都为2 4 此方程的近似解为 若要求结果精确到0 01 则何时停止操作 二 方法探究 思考 函数f x lnx 2x 6在区间 2 3 内有零点 如何找出这个零点 请看下面的表格 f 2 0 2 5 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 2 5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 2 5 2 5625 f 2 5 0 2 53125 f 2 53125 0 表续 二 方法探究 2 能否简述上述求方程近似解的过程 将方程的有根区间对分 然后再选择比原区间缩小一半的有根区间 如此继续下去 直到满足精度要求的根为止 3 二分法 bisectionmethod 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法 它是求一元方程近似解的常用方法 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断的把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 bisection 二分法的定义 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点x1 3 计算f x1 若f x1 0 则x1就是函数的零点 若f a f x1 0 则此时零点x0 a x1 若f x1 f b 0 则此时零点x0 x1 b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复2 4 三 自行探究 利用计算器 求方程的近似解 精确到0 1 解 法一 画出的图象 观察图象得 方程有惟一解 记为 且这个解在区间 1 2 内 三 自行探究 1 2 f 1 0 1 5 f 1 5 0 1 1 5 f 1 0 1 25 f 1 25 0 1 25 1 5 f 1 25 0 1 375 f 1 375 0 1 375 1 5 f 1 375 0 1 4375 f 1 4375 0 1 375 1 4375 f 1 375 0 因为1 375 1 4375精确到0 1的近似值都为1 4 所以原方程的近似解为x1 1 4 三 自行探究 法二 画出g x 2x及h x 4 x的图象 观察图象得 方程2x x 4有惟一解 记为x1 且这个解在区间 1 2 内 例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x 3x 7的近似解 精确度0 1 解 原方程即2x 3x 7 令f x 2x 3x 7 用计算器作出函数f x 2x 3x 7的对应值表和图象如下 函数未命名 gsp图象 因为f 1 f 2 0所以f x 2x 3x 7在 1 2 内有零点x0 取 1 2 的中点x1 1 5 f 1 5 0 33 因为f 1 f 1 5 0所以x0 1 1 5 取 1 1 5 的中点x2 1 25 f 1 25 0 87 因为f 1 25 f 1 5 0 所以x0 1 25 1 5 同理可得 x0 1 375 1 5 x0 1 375 1 4375 由于 1 375 1 4375 0 0625 0 1所以 原方程的近似解可取为1 4375 不行 因为不满足f a f b 0 四 归纳总结 用二分法求方程f x 0 或g x h x 近似解基本步骤 1 寻找解所在区间 1 图象法 先画出y f x 图象 观察图象与x轴交点横坐标所处的范围 或画出y g x 和y h x 的图象 观察两图象的交点横坐标所处的范围 把方程均转换为f x 0的形式 再利用函数y f x 的有关性质 如单调性 来判断解所在的区间 2 函数性态法 四 归纳总结 若x a b 不妨设f a 0 3 根据精确度得出近似解当x m n 且m n根据精确度得到的近似值均为同一个值p时 则x p 即求得了近似解 2 不断二分解所在的区间 3 若f 0 则x 2 若f 0 则x b 对 1 2 两种情形再继续二分法所在的区间 五 课堂练习 课堂小结 算法 如果一种计算方法对某一类问题 不是个别问题 都有效 计算可以一步一步地进行 每一步都能得到惟一的结果 我们常把这类问题的求解过程叫做解决这类问题的一种算法 算法特点 算法是刻板的 机械的 有时要进行大量的重复计算 但它的优点是一种通法 只要按部就班地去做 总会算出结果