5组植物大战僵尸.docx

2030高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2030高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：植物大战僵尸摘要紧张的工作、学习氛围，让人们应接不暇，头昏脑胀。因此可以放松身心，启发思路的计算机游戏应运而生，植物大战僵尸就是其中的一款经典游戏。它可爱俏皮的画面，简单易学的操作过程，倍受人们青睐。使人们缓解生活中的压力，增添了良多乐趣。简单的游戏也有大智慧，计算机游戏其实可以划分为一个数学模型。“植物大战僵尸”游戏就是一个简单模型的数学模型。问题一：对复杂的游戏规则，用简练的语言进行复述。数学语言是最简便的语言，把已知的条件转化为数学的语言，将各个单位的联系用数学式子表达，将各单位的关系用数学逻辑描述。问题二：当豌豆荚发射豌豆的频率和僵尸的步频保持不变的情况下，要计算机永远不会赢。便要僵尸总是死在同一个位置，使豌豆和僵尸形成一个循环。求出第一个僵尸的死亡位置，利用相遇问题关系列出表达式，根据图像可知僵尸出现时间间隔趋于一个极限值8.69步，即僵尸每隔8.69步便出现一只，可使计算机永不会赢。问题三：豌豆荚的种植方法共有8种，使所种的8株豌豆荚分别射出9个豌豆，计算出每个豌豆打到僵尸的时间。再将其累加，排列累加和即为各种方案打到僵尸的时间。从而求出运用的豌豆荚最少且僵尸的时间间隔最短的方案为种植8株植物时，僵尸出现的时间间隔为0.79t。问题四：将豌豆与向日葵的种植方案共三种一一列举出来，并计算出各自的间隔时间。筛选出最短的时间方案，从而确定最佳的种植方案为：游戏开始在1、2号格子种下向日葵，在3号格子种下豌豆荚。在出现足够的阳光后将豌豆荚种下，直到游戏胜利。关键字：相遇问题，线性规划，极限值一、问题重述植物大战僵尸是由PopCap Games为Windows、Mac OS X及iPhone OS系统开发，并于2009年5月5日发售的一款益智策略类塔防御战游戏。现在只考虑有三种角色：向日葵、豌豆荚和一种僵尸。向日葵产生阳光时，要点击阳光并收集存储，否则阳光过一段时间会消失。种植向日葵和豌豆荚需要花费阳光；豌豆荚当其所在格或右侧有僵尸存在时就发射豌豆，并豌豆数量无限；豌豆向右飞行且打同一路线上的僵尸。豌豆不受向日葵和豌豆荚的阻挡，但不能射穿僵尸；僵尸只从屏幕最右边产生，沿着直线从右向左行进和吃掉沿途遇到的向日葵和豌豆荚，但会被豌豆打死立即消失。僵尸走到屏幕最左边，则计算机获胜，游戏结束。屏幕上的游戏场地是横平竖直、大小相等的网格，一个格内只能种植一株豌豆荚或向日葵，但可以有任意多个僵尸。 假设僵尸3 步走一个格，豌豆荚发射豌豆的频率与僵尸的步频相等，豌豆飞行6 格的时间僵尸走一步，僵尸被9 粒豌豆打中立即消亡。僵尸走到豌豆荚或向日葵所在的格开始吞噬，用走3 步的时间将其吃掉。向日葵产生1 朵阳光所用时间僵尸恰好走4 个格，僵尸走1 格的时间不点击阳光，阳光就会消失。2 朵阳光可以种植1 株向日葵，4 朵阳光可以种植1 棵豌豆荚。场地只有从左至右的9 个格。 1. 将以上假设用更简洁明了的方式进行复述； 2. 场地只在最左边的1 个格内有豌豆荚，没有向日葵和阳光。问最小多大间隔产生1 个僵尸，计算机永远不会赢。 3. 场地在最左边的若干格内种有豌豆荚，没有向日葵和阳光，等间隔每次产生1 个僵尸。问最少种几棵豌豆荚，使产生僵尸的间隔最小，而计算机永远不会赢。 4. 假设游戏开始时有6 朵阳光，每次产生1 个僵尸。请设置最佳的种植方案和僵尸产生方案，使计算机永远不会赢，并且游戏紧张有趣。 二、问题分析针对问题一：我们可以用简洁的数学语言，对问题进行描述。针对问题二：1、要想计算机永远不会赢，可以让每一只僵尸出现在上一只僵尸死之后，然而这种结果，不能保证游戏紧张有趣，显然不能实现题目要求。2、在上一只僵尸死之前，下一只僵尸已经出现，它们出现的时间间隔相同。只要保证它们死在同一个位置，便可以一直这个样循环下去，使计算机永远都不会赢。根据以上分析，利用相遇知识叠加找出第一只僵尸的死亡地点，再找出僵尸出现时间间隔的极限值，便可以保证计算机永远不会赢。针对问题三：在第二问的基础上，可知僵尸在迈出第九步时一定死亡，排列出豌豆不同的种植方法，分别计算出各种方案的最优解。从而得出最少种几棵豌豆荚，使产生僵尸的间隔最小，而计算机永远不会赢。针对问题四：共有6朵阳光，所以种植方案只能是种植3朵向日葵，种植一株豌豆和一株向日葵，另外一种是种植两株向日葵收起两朵阳光。分别对这三种方案，进行分析，计算。从而比较得出最优的种植方案。三、模型的假设 本文以步为单位。 阳光全被点到，没有浪费情况出现。 僵尸们死的点是1/3格的倍数。 向日葵种下就开始计时。 只有向日葵可以产生阳光。四、定义及符号说明僵尸走一步用的时间产生僵尸的时间间隔僵尸的数量第i个豆子打到僵尸的时间五、模型的建立与求解问题一：用简练的数学语言，描述数据量之间的关系，从而使题目简化。假设僵尸3 步走一个格，每走一步的时间为t，其速度为1/t,豌豆荚发射豌豆的频率与僵尸的步频相等即每t时间发射一颗，豌豆飞行速度为18/t，僵尸被9 粒豌豆打中立即消亡。僵尸走到豌豆荚或向日葵所在的格开始吞噬，用走3t的时间将其吃掉。向日葵产生1 朵阳光所用时间为12t，僵尸走1 格的时间不点击阳光，阳光就会消失。2 朵阳光可以种植1 株向日葵，4 朵阳光可以种植1 棵豌豆荚。用表格表示为：屏幕上的游戏场地情况1行从左到右的9个格僵尸走一步所需时间豌豆飞行一步所需时间僵尸被豌豆击中至消亡所需豌豆颗数9僵尸吞噬豌豆荚或向日葵所需时间31株向日葵产生1朵阳光所用时间为不点击阳光则消失所需时间3种植1株向日葵所需阳光朵数2种植1棵豌豆荚所需阳光朵数4问题二：利用解决相遇问题的方法（速度和*时间=路程）得到: 解得：第二颗豌豆打到僵尸的时间为：同理可得出1-9颗豌豆打到僵尸的时间，它们的和为第一个僵尸的死亡时间。如下表：第一个僵尸的死亡时间约为8.69t。计算机永远不会赢，便要求第n个僵尸消失在八个格以内，故有：根据此事作出产生僵尸时间间隔与僵尸个数之间的图像，如下图所示。根据图像可知随着僵尸数量的增大，产生僵尸的时间间隔逐渐趋近于一个稳定的值，求解极限得到这个值为8.69t，即每过8.69t产生一个僵尸使计算机永远不会赢。问题三：要求最少种几棵豌豆荚，使产生僵尸的间隔最小，而计算机永远不会赢。共有八种方案供选择为：种植1株豌豆荚，种植两株豌豆荚种植八株豌豆荚。分别计算出在不同位置的8株豌豆荚射出九颗豌豆的时间如下表：种植一株豌豆荚时结果与第二问相同为8.69t。种植两株豌豆荚时，筛选前两株豌豆荚累计时间（共18个）排序，排在第九位的即为僵尸消失的时间，为4.88t。种植三株豌豆荚时，筛选前三株豌豆荚累计时间（共27个）排序，排在第九位的即为僵尸消失时间，为3.35t。同理种植4,58株豌豆荚时僵尸消失时间分别为2.21t，1.84t,1.26t，0.95t，0.79t。所以当种植豌豆荚数量为8株时僵尸出现间隔时间最短为0.79t。问题四：要让计算机永远不能赢，则要僵尸有足够的时间发射豌豆打击僵尸。为了让游戏变得紧张有趣，那么，让僵尸都尽可能的在开始吃植物的时候被豌豆打死。为了使游戏难度加大，尽可能的减小僵尸的间隔时间。从游戏的规则上看，向日葵应种在最左边防止被僵尸吃掉。利用现有的六朵阳光，种植的方案可以有三种。方案一：种植三株向日葵。方案二：种植两株向日葵，剩余两个阳光。方案三：种植一棵向日葵，一颗豌豆。假定只有一颗豌豆攻击僵尸，在僵尸到达豌豆荚区格时僵尸被豌豆打死，那么，在这种情况下，僵尸和豌豆的间隔距离为3格，僵尸行走的时间为9t。为方便说明，给九个格子进行编号。编号如下：123456789对于方案一，计算最紧张的游戏方案：为了能有足够的太阳花种植豌豆并且打死僵尸，需要24t-9t（其中2t为种出豌豆的时间，9t为豌豆打死僵尸用的时间）的时间。据此推算，从游戏开始，僵尸出现的时间为24t+5t-15t，即当游戏开始18t后僵尸出现，6t后僵尸走到七号格子，此时豌豆种在四号格子。由于方案一游戏开始18t后僵尸才出现，从游戏的一开始就出现了游戏不紧张的情况。对于方案二，计算最紧张的游戏方案：种植两颗向日葵在1、2号格子，剩下两个阳光。产生阳光的时间为12t，将豌豆种在三号格子。为了让僵尸恰好在四号格子死去，那么，从僵尸游戏开始时，僵尸出现的时间为12t-9t=3t。只有一个豌豆，所以将僵尸出现的时间间隔定为9t。当第三个僵尸走到五号格子时，出现四个太阳， ，将豌豆荚种在四号格子，此时两个豌豆荚打死一个僵死用时为5t，而第四个僵尸在七号格子。所以，从第五个僵尸开始，设置僵尸的时间间隔为6t。同理，当第七个僵尸走到五号格子时一，有四个阳光。第七个僵尸死后，将豌豆种在五号格子。此时种有三颗豌豆荚，打死一个僵尸用时为3t，所以，第七个僵尸之后，僵尸的间隔时间为改为3t。以这样的游戏规则，游戏相对较为紧张连续。对于方案三，计算最紧张的游戏方案：在只有一颗向日葵的情况下，要过48t才能产生4个阳光，产生阳光将豌豆荚种下才能改变僵尸的间隔时间，由于48t时间过长，在游戏开始时就会出现不紧张的情况，不符合要求。针对以上各个方案的时间情况，设计游戏方案：僵尸在游戏开始3t后出现，僵尸出现的时间间隔为9t，在第四个僵尸后僵尸的时间间隔为6t，在第七个僵尸后，僵尸的时间间隔为3t，之后时间间隔恒定。游戏设定，当玩家种下五颗豌豆荚后玩家胜利。种植方案：游戏开始在1、2号格子种下向日葵，在3号格子种下豌豆荚。在出现足够的阳光后将豌豆荚种下，直到游戏胜利。六、参考文献【1】阮沈勇，王永利，桑群芳matlab程序设计电子工业出版社2003【2】宋荣兴，孙海涛，荆湘霞，吕秀艳运筹学经济科学出版社2010【3】郝黎仁，樊元，郝哲欧spss实用统计分析中国水利水电出版社2002七、附录作图程序：n=1:100;T=(8.69*n-24+8.69)./n;plot(n,T)计算程序：solve(24/19+5*18/19+19/t*x=24,x)solve(43/19+0*18/19+19/t*x=24,x)solve(43/19+413/361)+18*(413-361)/361+19/t*x=24,x)solve(43/19+413/361+1)+18*(0)/361+19/t*x=24,x)solve(43/19+413/361+1+7073/6859)+18*(7073-6859)/6859+19/t*x=24,x)solve(43/19+413/361+1+7073/6859+1)+18*(0)/6859+19/t*x=24,x)solve(43/19+413/361+1+7073/6859+1+1)+18*(0)/6859+19/t*x=24,x)solve(21/19)+18*(2)/19+19/t*x=24,x)solve(21/19)+18*(2)/19+19/t*x=21,x)solve(21/19+1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(21/19+1+1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(21/19+1+1+1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(21/19+1+1+1+1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(21/19+1+1+1+1+1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(21/19+1+1+1+1+1+1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(21/19+1+1+1+1+1+1+1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(1)+18*(0)/19+19/t*x=21,x)solve(1)+18*(0)/19+19/t*x=18,x)solve(2)+18*(0)/19+19/t*x=18,x)solve(3)+18*(0)/19+19/t*x=18,x)solve(4)+18*(0)/19+19/t*x=18,x)solve(5)+18*(0)/19+19/t*x=18,x)solve(6)+18*(0)/19+1