高等数学微积分第十章第2节.ppt

第二节Gauss公式与散度 一 Gauss公式 二 散度 三 外微分形式简介 Gauss公式揭示了第二型曲面积分与三重积分之间一种重要的关系 这在理论上和应用上都十分重要 一 Gauss公式 讨论第二型曲线积分时 Green公式揭示了第二型曲线积分与二重积分之间的关系 而对第二型曲面积分是否有类似的性质 这就是我们要得到重要的性质 Gauss公式 则 定理1设是空间的有界闭区域 其边界由有限光滑或分片光滑的曲面所组成 取外侧 一 Gauss公式 解 利用Guass公式求解 例1设 是由以O 0 0 0 A 1 0 0 B 0 1 0 和C 0 0 1 为顶点的四面体OABC的表面 取外侧 求向量场通过 的通量 一 Gauss公式的计算 一 Gauss公式 这时取下侧 取上侧 取外侧 我们有 一 Gauss公式 又在上 故 同理 一 Gauss公式 所以 当不是简单区域时 可用如同Green公式那样的思想方法 用若干辅助平面把分割成有限个简单区域 在利用积分可加性 并注意辅助平面在内的每个部分都分属两个小区域 且它的两个侧面方向相反 沿着它的曲面积分互相抵消 从而证明定理1仍然成立 由两类曲面积分之间的关系知 一 Gauss公式 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 注记以下情况用Gauss公式计算较为方便 较为简单且易于计算 使用Guass公式时应注意 一 Gauss公式 1 P Q R是对什么变量求偏导数 2 是否满足高斯公式的条件 3 是取闭曲面的外侧 4 若 不是闭曲面 可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面 补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧 解 因被积函数均为一次式 其偏导数为常数 曲面 是封闭的 故可用Gauss公式计算 一 Gauss公式的计算 例2计算积分 其中 是正方体 的整个表面 取外侧 一 Gauss公式的计算 解 由Gauss公式 这种求法是否正确 为什么 一 Gauss公式的计算 解 由Gauss公式 例4求向量场穿过由曲面和所围成立体表面外侧的通量 一 Gauss公式的计算 由Gauss公式 利用球坐标系 一 Gauss公式的计算 例5计算曲面积分其中 是旋转抛物面介于及之间的部分 取下侧 解 一 Gauss公式的计算 故所求积分为 一 Gauss公式的计算 例7计算曲面积分 取下侧 其中 为上半球面 0 0 a 0 a 0 a 0 0 解 因 不是封闭的 不能直接使用Gauss公式 但可补上圆 取上侧 它与 组成一个封闭的曲面 取内侧 记它们所围的区域为 由Gauss公式 一 Gauss公式的计算 又 一 Gauss公式的计算 故 一 Gauss公式的计算 例8计算曲面积分 其中 为曲面的外侧 对吗 为什么 如果 为曲面的外侧 如何求解 为什么 1散度的概念及其计算公式 二 散度 设是一个不可压缩的稳定的流速场 对于场中任一点M 在点M的某领域作一张包围M的光滑封闭曲面 取外侧 记所围的区域为 这时 表示单位时间从经流向外侧的流量 而 表示单位时间从单位体积流出的平均流量 称为在的平均源强 越小 2 2 就能越好地近似描述场在点M处的源的强度 令收缩到M 记成 所得极限 就可用来刻划在点M处的源的强度 2 2 2 3 二 散度 定义1 设是一个向量场 若极限 2 3 存在且与无关 则称之为场在点M处的散度 记为 即 2 4 若 则说场在点M处有正源 若 则说场在点M处有负源 漏洞 若 就说场是一个无源场 二 散度 2 5 下面我们建立散度在直角坐标系下的表达式 定理2 设则在点M处的散度 证明 由Gauss公式和第一型积分的中值定理 二 散度 利用 2 4 Gauss公式 2 1 可写成 其中是中的某一点 当时故 2 6 2散度的性质 二 散度 1 线性 设和是向量场 和是常数 则 2 设u u x y z 为函数 为向量场 则 它有明显的物理意义 设为不可压缩的稳定的流速场 2 6 右端的三重积分表示单位时间内所产生的流体的总量 而左边的曲面积分表示单位时间流体通过的边界曲面流向外侧的流量 二者应当相等 所以 2 1 和 2 6 又称为散度定理 3 证明 二 散度 解 2 由 2 7 和 2 8 知 1 由 2 5 知 例9设表示在原点的点电荷q所产生的静电场的电位移矢量 求 由梯度的性质知 故 例8指出 当时 由点电荷q产生的电位移量是无源场 利用Hamilton的算子 散度及其性质可表述为 二 散度 二 散度 证明 由散度定理及散度的性质 故 因f在调和 故 例12设为闭区域的边界曲面 是的外法向量 f在调和 证明 二 散度 例13设简单光滑曲面的是区域的边界 是在点 x y z 处的外法向量 计算Guass积分