高等数学向量代数与空间解析几何习题.ppt

习题课向量代数与空间解析几何 一 主要内容 一 向量代数 二 空间解析几何 向量的线性运算 向量的表示法 向量积 数量积 混合积 向量的积 向量概念 一 向量代数 1 向量的概念 向量的模 单位向量 零向量 自由向量 相等向量 负向量 平行向量 向径 2 向量的线性运算 加 减 数乘 3 向量的表示法 向量的分解式 在三个坐标轴上的分向量 向量的坐标表示式 向量的坐标 模 方向余弦的坐标表示式 4 数量积 向量积 混合积 各种积的坐标表达式 两向量平行 垂直的条件 直线 曲面 曲线 平面 参数方程 旋转曲面 柱面 二次曲面 一般方程 参数方程 一般方程 对称式方程 点法式方程 一般方程 空间直角坐标系 二 空间解析几何 1 空间直角坐标系 2 曲面 旋转曲面 柱面 二次曲面 3 空间曲线 4 平面 5 空间直线 线面关系 线线关系 夹角 点到线面的距离 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 1 空间直线与平面的方程 为直线的方向向量 空间直线 一般式 对称式 参数式 为直线上一点 面与面的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 2 线面之间的相互关系 直线 线与线的关系 直线 垂直 平行 夹角公式 平面 垂直 平行 夹角公式 面与线间的关系 直线 3 相关的几个问题 1 过直线 的平面束 方程 2 点 的距离为 到平面 Ax By Cz D 0 到直线 的距离 为 3 点 二 典型例题 例 解 由题设条件得 解得 例 证 而 因 令 得唯一驻点 而 时 面积最大 例 解 由题设知 两式相减得 代入前式有 故 例 解 而 故可设 而 故 故 所求向量为 例 解 过已知直线的平面束方程为 由题设知 由此解得 代回平面束方程为 例 解 将两已知直线方程化为参数方程为 即有 例 解 设所求直线的方向数为 则直线方程为 化成参数方程 有 代入已知直线方程 得 又所求直线与已知平面平行 两边同乘以 解得 直线方程为 例 解 所求投影直线方程为 例 分析 求直线方程 或者求出直线所在的平面得交面式方程 或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程 或者求出直线上的两点得两点式方程 解一 用交面式 直线过点B且与L垂直 故直线在过B且与L垂直的平面内 即 又过B且与z轴相交 故在由B及z轴所组成的平面内 即 所求直线方程为 解二 用点向式 已知过B 故只须求出其方向向量 而 故 又过B且与z轴相交 即在由B及z轴所组成的平面内 所求直线方程为 解三 用两点式 已知过B 故只须求出第二个点 又与z轴相交 可设法求出这个交点 过B作平面 使得 即 求出z轴与的交点 将代入 有 交点为 而在上又和z轴相交 现与z轴只有唯一的交点 故即为与z轴的交点 即 思考与练习 P338题21画出下列各曲面所围图形 P338题21 1 解答 P33821 2 P33821 4 练1 求直线 与平面 的交点 提示 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为 1 2 2 练2 求过点 2 1 3 且与直线 垂直相交的直线方程 提示 先求二直线交点P 化已知直线方程为参数方程 代入 式 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 的平面的法向量为 故其方程为 过已知点且垂直于已知直线 练3 求直线 在平面 上的投影直线方程 提示 过已知直线的平面束方程 从中选择 得 这是投影平面 即 使其与已知平面垂直 从而得投影直线方程 练