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第五节 一 有向曲面及曲面元素的投影 二 对坐标的曲面积分的概念与性质 三 对坐标的曲面积分的计算法 四 两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章 一 有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 单侧曲面的典型 其方向用法向量指向 方向余弦 0为前侧 0为后侧 封闭曲面 0为右侧 0为左侧 0为上侧 0为下侧 外侧内侧 设 为有向曲面 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面 表示 其面元 在xOy面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 二 对坐标的曲面积分的概念与性质 1 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 分析 若 是面积为S的平面 则流量 法向量 流速为常向量 对一般的有向曲面 用 大化小 常代变 近似和 取极限 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 则 设 为光滑的有向曲面 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点 分 记作 P Q R叫做被积函数 叫做积分曲面 或第二类曲面积分 下列极限都存在 向量场 若对 的任 2 定义 引例中 流过有向曲面 的流体的流量为 称为Q在有向曲面 上对z x的曲面积分 称为R在有向曲面 上对x y的曲面积分 称为P在有向曲面 上对y z的曲面积分 若记 正侧的单位法向量为 令 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 3 性质 1 若 之间无公共内点 则 2 用 表示 的反向曲面 则 三 对坐标的曲面积分的计算法 定理 设光滑曲面 取上侧 是 上的连续函数 则 证 取上侧 若 则有 若 则有 前正后负 右正左负 说明 如果积分曲面 取下侧 则 例1 计算 其中 是以原点为中心 边长为a的正立方 体的整个表面的外侧 解 利用对称性 原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧 解 把 分为上下两部分 例2 计算曲面积分 其中 为球面 外侧在第一和第八卦限部分 例3 设S是球面 的外侧 计算 解 利用轮换对称性 有 四 两类曲面积分的联系 其中 而 因此 有 即 如果曲面 取下侧 则曲面上任意一点处的单位法 向量为 其中 因此 有 因此 无论曲面取哪侧 我们总是有 同理可得 因此有 令 向量形式 例5 设 是其外法线与z轴正向 夹成的锐角 计算 解 例6 计算曲面积分 其中 解 利用两类曲面积分的联系 有 原式 旋转抛物面 介于平面z 0 及z 2之间部分的下侧 原式 原式 内容小结 定义 1 两类曲面积分及其联系 性质 联系 2 常用计算公式及方法 面积分 第一类 对面积 第二类 对坐标 二重积分 转化 1 当 时 上侧取 下侧取 2 当 时 前侧取 后侧取 3 当 时 右侧取 左侧取 思考与练习 1 P227题2 提示 设 则 取上侧时 取下侧时 2 P244题1 3 P227题3 3 是平面 在第四卦限部分的上侧 计算 提示 求出 的法方向余弦 转化成第一类曲
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