浙江省高考数学二轮专题复习 第3课时 导数及其应用课件 理.ppt

1 2 1 充分理解导数即瞬时变化率 它是平均变化率的极限 路程对时间的瞬时变化率是瞬时速度 速度对时间的瞬时变化率是瞬时加速度等 2 会用导数研究函数图象的形状 单调性 极值 最值等 注意f x 在m上单调 与 它的单调区间为m 的区别 注意极值与极值点的区别 另外 可构造辅助函数 研究方程根的个数 证明不等式等 3 结合图形 理解在p点处的切线与过点p的切线的区别 切线问题的核心是抓住一个等量关系沟通已知与待定 设切点为p x0 y0 则切线的斜率为k f x0 通过切点沟通曲线与切线 3 例1 2010浙江杭州第一次数学质检 已知a r 函数f x x2 x a 1 当a 3时 求f x 的零点 2 求函数y f x 在区间 1 2 上的最小值 求函数在某区间上的最值 可先利用导数求得极值点 再以极值点与给定区间的位置关系为标准进行分类讨论 1 函数极值 最值问题 4 5 6 1 已知f x 在m上递增 则f x 0在m上恒成立 2 讨论某区间上函数的最值问题 可通过画图 截取 观察获得 7 变式训练 已知函数f x x3 ax2 bx c 过曲线y f x 上的点p 1 f 1 的切线方程为y 3x 1 1 若y f x 在x 2时有极值 求f x 的表达式 2 在 1 的条件下 求y f x 在 3 1 上的最大值 3 若函数y f x 在区间 2 1 上单调递增 求实数b的取值范围 将过点p的切线方程与y 3x 1建立等价关系式 再利用y f x 在x 2时有极值可确定a b c的值 第 3 问可转化为f x 0在 2 1 上恒成立时b的取值范围 8 1 因为f x x3 ax2 bx c 所以f x 3x2 2ax b 过y f x 上的点p 1 f 1 的切线方程为y f 1 f 1 x 1 即y a b c 1 3 2a b x 1 而已知过y f x 上的点p 1 f 1 的切线方程为y 3x 1 故 即因为y f x 在x 2时有极值 故f 2 0 所以 4a b 12 由 联立解得a 2 b 4 c 5 所以f x x3 2x2 4x 5 9 2 f x 3x2 4x 4 3x 2 x 2 令f x 0 解得x 或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 的极大值为f 2 13 极小值为f 又因为f 3 8 f 1 4 所以f x 在 3 1 上的最大值为13 3 y f x 在区间 2 1 上单调递增 10 又f x 3x2 2ax b 由 1 知2a b 0 所以f x 3x2 bx b 依题意知 在 2 1 上恒有f x 0 即3x2 bx b 0在 2 1 上恒成立 当x 1 即b 6时 f x min f 1 3 b b 0 所以b 6 当x 2 即b 12时 f x min f 2 12 2b b 0 所以b不存在 当 2 1 即 12 b 6时 f x min f 0 所以0 b 6 综上所述b 0 11 例2 2010湖南卷 已知函数f x x a 1 lnx 15a 其中a 0 且a 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 设函数 e是自然对数的底数 是否存在a 使g x 在 a a 上为减函数 若存在 求a的取值范围 若不存在 请说明理由 利用导数判断f x 的单调性 分段函数在某区间上单调 可转化为各段函数在该区间上分别单调 且断点处的函数值也满足单调性即可 2 函数单调性问题 12 1 f x 的定义域为 0 若 10 当 a1时 f x 0 故f x 分别在 0 a 1 上单调递增 在 a 1 上单调递减 若a 1 同上可得f x 分别在 0 1 a 上单调递增 在 1 a 上单调递减 2 存在a 使g x 在 a a 上为减函数 13 设h x 2x3 3ax2 6ax 4a2 6a ex x r 则h x 2x3 3 a 2 x2 12ax 4a2 ex 再设m x 2x3 3 a 2 x2 12ax 4a2 x r 则当g x 在 a a 上单调递减时 h x 必在 a 0 上单调递减 所以h a 0 由于ex 0 因此m a 0 而m a a2 a 2 所以a 2 此时 如果g x 在 a a 上为减函数 当且仅当f x 在 1 a 上为减函数 h x 在 a 1 上为减函数 且h 1 ef 1 由 1 知 当a 2时 f x 在 1 a 上为减函数 14 又h 1 ef 1 4a2 13a 3 0 3 a 1 4 不难知道 x a 1 h x 0 x a 1 m x 0 因为m x 6x2 6 a 2 x 12a 6 x 2 x a 令m x 0 则x a 或x 2 而a 2 于是 当a0 若 2 x 1 则m x 0 因而m x 在 a 2 上单调递增 在 2 1 上单调递减 15 当a 2时 m x 0 m x 在 2 1 上单调递减 综合 知 当a 2时 m x 在 a 1 上的最大值为m 2 4a2 12a 8 所以 x a 1 m x 0 m 2 0 4a2 12a 8 0 a 2 又对x a 1 m x 0只有当a 2时在x 2处取得 亦即h x 0只有当a 2时在x 2处取得 因此 当a 2时 h x 在 a 1 上为减函数 从而由 知 3 a 2 综上所述 存在a 使g x 在 a a 上为减函数 且a的取值范围为 3 2 16 利用导数判断函数的单调性 求函数的极值与最值的方法是导数在研究函数性质方面的深入 是导数应用的关键点 17 变式训练 2011 4月镇海中学模拟 设函数f x x2 mx e x m r e为自然对数的底数 1 求证 f x 在r上不是单调函数 2 若f x 2在 0 1 内有解 求m的取值范围 18 19 20 例3 2010 浙江卷 已知a是给定的实常数 设函数f x x a 2 x b ex b r x a是f x 的一个极大值点 1 求b的取值范围 2 设x1 x2 x3是f x 的3个极值点 问是否存在实数b 可找到x4 r 使得x1 x2 x3 x4的某种排列xi1 xi2 xi3 xi4 其中 i1 i2 i3 i4 1 2 3 4 依次成等差数列 若存在 求所有的b及相应的x4 若不存在 说明理由 3 函数综合问题 21 1 x a是f x 的一个极值点 即x a是f x 0的一个根 但不是重根 2 的关键是先确定x1 x2和a的位置关系 再分情况讨论 从而确定x4的位置 22 23 24 25 正确理解函数的极值的概念 熟练运用导数的运算法则 导数应用及等差数列等基础知识是解题的关键 26 变式训练 2011 浙江卷 设函数f x x a 2lnx a r 1 若x e为y f x 的极值点 求实数a 2 求实数a的取值范围 使得对任意的x 0 3e 恒有f x 4e2成立 注 e为自然对数的底数 27 28 29 30 1 函数单调性的应用 1 若f x 0在区间 a b 上恒成立 则函数f x 在 a b 上单调递增 2 若f x 0在区间 a b 上恒成立 则函数f x 在 a b 上单调递减 2 函数极值的理解 1 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定 也有可能极小值大于极大值 2 对于函数f x f x 在x x0处的导数f x0 0