近世代数第5讲.doc

第5讲2.2 单位元、逆元、消去律 ( Identity inverses cancellation law ) 一、单位元、逆元、定理1 群G中有且仅有一元e具有性质：。证明：存在性由上节（p33）群的第二定义可得。唯一性：若有，则。定义1 单位元： 群中具有性质：的元素称为群G的单位元。注：如果是加法群时，中的单位元换叫做“零元”，记为“0”定理2 群G中任一个元素有且仅有一个元素具有性质： .证明：若有则定义2 对于群中一个元素，中元素具有性质： .称b为a的逆元,记为。例1、2. p36-37二、元素的阶前面（p34），我们已介绍了群的阶：中所含元素的个数.下面利用单位元，能引入另一个新概念:定义3：设为群，而. 如果有整数，使，那么使这个等式成立的最小正整数叫做的阶，记为. 如果这样的不存在，则称的阶是无限的，记为=+.例 加法群中，0是单位元. ，而其它元素=+.例 乘法群中，1是单位元，而其它元素的阶都是无限.注：加法群中，元素的阶的定义自然需做相应的变化：设，能够使的最小正整数叫做的阶，若这样的不存在，则称的阶是无限的，的阶仍记为.例3 设是由的三个复根组成的集合，而中的代数运算“”是通常的乘法，那么必为一个乘法群. 其中习惯上记为，叫做3次单位根群。这里 .事实上（1）.（2）结合律显然成立（因为复数集中满足结合律）.（3）是中的单位元.（4）的逆元是，与互为逆元.不仅如此，我们还知：.三、消去律定理3：每一个群都适合消去律：证明：设且有，那么用的逆元左乘上等式两端：成立。同理知也成立。（注：叫做左消去律，叫做右消去律）推论 在一个群里，方程 有唯一解。2.3有限群的另一定义1. 问题的提出：若是群，则必满足（1）结合律；（2）消去律。但如果是一个有代数运算的的集合，且能满足（1）和（2），是否可断定就是群呢？先看下面的例子：代数系统显然满足（1）结合律（3）消去律，但不是群（因为除了和外，其他元素都没有逆元）.上例所以不能成为群，关键是为无限集，如果是有限集，那情形就不一样了。定理1设是一个有限集，若代数系统满足（1）结合律，（2）左、右消去律，那么是一个群。证明：（只需证明方程和在中有解）先证在中有解，.因为是有限集，不妨设，即，现用左乘中的每个元素，得到.又由于（2），只要，则。所以，中也含有个元素。于是。又由于，即。因此，使得的解.同理可以证明有解.作业：P38。ex2，4思考题及课堂训练：1、若=+，即使能满足封闭性、结合律和消去律，则也不可能成为群，这种说法对吗？2、设是群，那么（1），若存在，使（可知的阶是有限的）。（2）。3、设为群，那么.4、For each of the following rules in a group G, tell us which is right.(1) If, then; (2) If, then; (3) ；(4) If, then; (5) If, then.5、Let and be elements of a group G, On each of the following, solve for in terms of and (1) If , then . (2) If , then .(3) and , then .(4) If and , then .(5) If and , then .(6) If and , then .6、Every element of group G is finite order if G is finite group.证明：设，若且=都是中的非零元，如果且，由消去律，这与无限矛盾，这说明只要是两两不同的，这与矛盾.由上讨论可知：“若+”.这个命题的逆命题成立吗？也就是说，“若且+”回答是否定的.反例：设，可以验证：是一个乘法群且是的单位元.显然, 中每个元的阶都有限. 但确有 .7、If every element in group G, has, then G is a commutative group.证明：,而是可换群. 8、在有限群中，阶数大于2 的元的个数一定是偶数。证明：取有限群中一个阶的元而说明中阶的元是成对出现的。由此知阶的元的个数是偶数。9、偶数阶有限群中阶数=2的元个数是奇数。证明：阶数的元也必是偶数（是偶数），但，且只有一个，阶=2的元的个数为奇数.关于中元素的阶我们有如下结论：结论1设且,那么 .证明：“”. “” .结论2. 设且,令 (最小公倍数)又设。那么：(1)