用空间向量求空间角课件(共22张PPT).ppt

立体几何中的向量方法 空间 角 问题 空间的角常见的有 线线角 线面角 面面角 复习回顾 直线的方向向量 两点平面的法向量 三点两线一方程设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 1 a b a1b1 a2b2 a3b3 设直线l1 l2的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为n1 n2 则 l1 l2或l1与l2重合 l1 l2 或 与 重合 l 或l l 复习回顾 a b a tb a b a b 0 n1 n2 n1 tn2 n1 ta n1 a n1 n2 n1 n2 0 n1 a n1 a 0 引例 求二面角M BC D的平面角的正切值 求CN与平面ABCD所成角的正切值 求CN与BD所成角的余弦值 4 求平面SBC与SDC所成角的正弦值 范围 一 线线角 异面直线所成的锐角或直角 思考 空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系 结论 向量法 A D C B D1 C1 B1 A1 E1 F1 方法小结 传统法 平移 例1 如图所示的正方体中 已知F1与E1为四等分点 求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值 所以与所成角的余弦值为 解 如图所示 建立空间直角坐标系 如图所示 设则 所以 练习 悟一法 利用向量求异面直线所成的角的步骤为 1 确定空间两条直线的方向向量 2 求两个向量夹角的余弦值 3 确定线线角与向量夹角的关系 当向量夹角为锐角时 即为两直线的夹角 当向量夹角为钝角时 两直线的夹角为向量夹角的补角 直线与平面所成角的范围 结论 二 线面角 直线和直线在平面内的射影所成的角 叫做这条直线和这个平面所成的角 思考 如何用空间向量的夹角表示线面角呢 A O B 例2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平面A1B1CD所成的角 O 向量法 传统法 N 解 如图建立坐标系A xyz 则 N 又 悟一法 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为 1 确定直线的方向向量和平面的法向量 2 求两个向量夹角的余弦值 3 确定线面角与向量夹角的关系 向量夹角为锐角时 线面角与这个夹角互余 向量夹角为钝角时 线面角等于这个夹角减去90 二面角的平面角必须满足 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 10 三 面面角 三 面面角 向量法 关键 观察二面角的范围 证明 以为正交基底 建立空间直角坐标系如图 则可得 例3 已知正方体的边长为2 O为AC和BD的交点 M为的中点 1 求证 直线面MAC 2 求二面角的余弦值 由图可知二面角为锐角 悟一法 利用法向量求二面角的步骤 1 确定二个平面的法向量 2 求两个法向量夹角的余弦值 3 确定二面角的范围 二面角的范围要通过图形观察 法向量一般不能体现 练习 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 异面直线SA和OB所成的角的余弦值 OS与面SAB所成角 的正弦值 二面角B AS O的余弦值 则A 2 0 0 于是我们有 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 B 1 1 0 令x 1 则y 1 z 2 从而 2 设面SAB的法向量 显然有 由 知面SAB的法向量 1 1 2 又 OC 面AOS