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明师讲义: “会而不对,对而不全”,这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误,提高解题周密性,避免漏解的奥秘在于:掌握分类讨论法,学会分类讨论 分类讨论就是按照一定的标准,把研究对象分成几个部分或几种情况,然后逐个加以解决,最后予以总结作出结论的思想方法,其实质是化整为零、各个击破的转化策略解题时何时需要进行分类?一般来说,当问题包含的因素发生变化,问题结果也相应发生变化,我们就需要对这一关键因素分类讨论,怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏,每次分类必须保持同一的分类标准,多级讨论,逐级进行【例题求解】【例1】 四条线段的长分别为9,5,1(其中为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如图),则可取值的个数为 ( “信利杯”竞赛题)注:初中数学常见的分类方法有: (1)按定义、性质、法则、公式分类; (2)对参数分类; (3)按图形位置分类; (4)按图形特征分类; (5)按余数分类注:参数是较为常见的分类对象,因为参数的不同取值,可能导致不同的运算结果,或者必须使用不同的方法去解决,这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用【例2】 方程的所有整数解的个数是( ) A2 B3 C4 D5 (山东省选拔赛试题)思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题,根据幂指数的意义,可将原问题分成三个并列的简单问题求解:(1)非零实数的零次幂等于1;(2)1的任何次幂等于1;(3)的偶次幂等于1【例3】 试确定一切有理数,使得关于的方程有根且只有整数根 (全国初中数学联赛试题)思路点拨 根据方程定义,是否为零影响方程的次数,这是质的不同,解法也不同,所以,应对r=0及0两种情况分类求解【例4】 已知一三角形纸片ABC,面积为25,BC边的长为10,B和C都为锐角,M为AB边上的一动点(M与点A、B不重合)过点M作MNBC,交AC于点N设MN= (1)用表示AMN的面积SAMN; (2)用AMN沿MN折叠,使AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内),设点A落在平面BCNM内的点为A,AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为试求出关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;当为何值时重叠部分的面积最大,最大为多少? (苏州市中考题)思路点拨 折叠AMN,A点位置不确定,可能在ABC内或在BC边上或在ABC外,故需按以上三种情况分别求出关于的函数关系式,进而求出的最大值注:有关平面几何问题,经常按图形相互之间的位置进行分类,因为图形存在不同的位置关系,其解答结果可能不同,也可能需要使用不同的方法解决,初中平面几何按位置关系分类,最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系 【例5】 已知Ol与O2外切,Ol的半径R=2,设O2的半径是r (1)如果Ol与O2的圆心距d=4,求r的值; (2)如果Ol、O2的公切线中有两条互相垂直,并且rR,求r的值 (南京市中考题)思路点拨 题中没有给出图形,题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直,情况不惟一,故应分类讨论注:中考压轴题分类讨论有以下常见情形: (1)由点的不确定定引起的分类讨论; (2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论;(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论学力训练1已知m为实数,如果函数的图象与轴只有一个交点,那么m的取值为 2若实数、满足,则的值为 3若半径为5和4的两个圆相交,且公共弦长为6,则它们的圆心距等于 4已知O和不在O上的一点P,过P直线交O于A、B点,若PAPB=4,OP=5,则O的半径为 5和抛物线只有一个公共点(-1,-1)的直线解析式为( ) A B C或 D 6若线段AB两端点到直线的距离分别为4和8,则AB的中点到直线的距离是( ) A2 B4 C6 D2或67点A(-4,0),B(2,0)是坐标平面上两定点,C是的图象上的动点,则满足上述条件的直角ABC可以画出( ) A1个 B2个 C 3个 D4个8如图,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,那么这样的P点有( ) A1个 B 2个 C3个 D4个9已知关于的方程(1)求证:无论是取何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边长,另两边长为、恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长 (湖北赛区选拔赛试题)10已知:如图,抛物线C1经过A,B,C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E(1)求抛物线C1的解析式;(2)求四边形ABCD的面积;(3)AOB与BDE是否相似,如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由;(4)设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F,另一条抛物线C2经过点E(抛物线C2与抛物线C1不重合),且顶点为M(a,b),对称轴与x轴相交于点G,且以M,G,E为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形全等,求a,b的值(只需写出结果,不必写出解答过程) (黄冈市中考题)11以O为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm和5cm,O与这两个圆都相切,则O的半径是 12在ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50,则底角B的大小为 13如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是 (北京市宣武区中考题)14已知点A(0,6),B(3,0),C(2,0),M(0,m),其中m6,以M为圆心,MC为半径作圆,那么当m= 时,M与直线AB相切 15关于的方程有有理根,求整数是的值 (山东赛区选拔赛试题)16华鑫超市对顾客实行优惠购物,规定如下: (1)若一次购物少于200元,则不予优惠; (2)若一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠; (3)若一次购物超过500元,其中500元的部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠 小明两次去该超市购物,分别付款198元与554元,现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,他需付款多少? (江苏省竞赛题)17如图,已知:ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上(1)当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;(3)试问:在AB上是否存在点M,使得PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长18已知关于的方程(q0)的两个实数根为,且 (1)试用含有,的代数式表示和; (2)求证:1 (3)若以,为坐标的点M(,)在ABC的三条边上运动,且ABC顶点的坐标分别为A(1,2),B(,1),C(1,1),问是否存在点M使+=,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由 (天津市中考题)19某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一
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