2.1.1平面.ppt

2 1 1平面 1 1 平面的概念 桌面 黑板面 平静的水面 平面的形象 特征 没有大小 没有面积 没有厚薄没有宽窄是无限延展的将空间分为两部分 一 平面 2 平面的画法 1 水平的平面 锐角为450 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形 3 两个平面相交 如果一个平面被另一个平面挡住 则这遮挡的部分用虚线画出来 2 非水平的平面 只需画成平形四边形即可 3 平面的表示法 通常用一个希腊字母 等来表示 如平面 平面 平面 用表示平行四边形的四个顶点字母来表示 如平面ABCD 用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示 如平面AC 平面BD 练习 二 用数学符号来表示点 线 面之间的位置关系 点A在直线a上 记为 A a 点B不在直线a上 点A在平面 上 记为 A 点B不在平面 上 1 点与直线的位置关系 2 点与平面的位置关系 3 直线与平面的位置关系 直线a上的所有点都在平面 上 称直线a在平面 内 或称平面 通过直线a 记为 直线a与平面 只有一个公共点A时 称直线a与平面 相交 记为 a A 直线a与平面 没有公共点时 称直线a与平面 平行 记为 a 4 平面与平面的位置关系 当平面 上的所有点都在平面 上时 称平面 与平面 重合 当两个不同平面 与平面 有公共点时 它们的公共点组成集合a 称平面 与平面 相交 记 a 当平面 与平面 没有公共点时 称平面 与平面 平行 记 用数学符号来表示点 线 面之间的位置关系 a A a A b A a 与 重合 练习 a 或 且 或 例1 画出两个竖直放置的相交平面 例2 把下列语句用集合符号表示 并画出直观图 1 点A在平面 内 点B不在平面 内 点A B都在直线a上 2 平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内且平行于直线m 例3 把下列图形中的点 线 面关系用集合符号表示出来 练习 根据下列条件作图 1 A a A a 2 a b c 且a b A b c B c a C 3 l A 且A 4 A A l l B m B m 2 1 1平面 2 三 平面的基本性质 思考 如果直线与平面 有一个公共点 直线是否在平面 内 如果直线与平面 有两个公共点呢 文字语言 图形语言 符号语言 m B A 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 A B l 若一条直线l在平面 内 则直线上的所有点均在此平面 内 公理1应用 1 证明点在平面内 2 证明直线在平面内 反之 思考 把三角板的一个角立在课桌面上 三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点 为什么 文字语言 图形语言 符号语言 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理3应用 1 确定两个平面的交线 3 确定直线与平面交点的位置 2 证明点在直线上 如证三点共线或三线共点 思考 为什么照相机支架只用三条腿就够了 文字语言 图形语言 符号语言 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 A B C 公理3推论1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 B C 证明 1 有一个 存在性 2 只有一个 惟一性 公理3推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 b a P 实际应用 怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端是否共面 公理3推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 b a 公理3及其三个推论的应用 1 确定平面的个数 3 证明有关点 线共面 2 作辅助平面 练习 1 判断下列各题的说法是否正确 1 直线经过平面 即直线在平面内 2 直线上所有点都在面内的面一定是平面 3 三点确定一个平面 4 一条直线和一个点确定一个平面 5 空间两条直线确定一个平面 6 三条平行线确定三个平面 2 不共面的四点中能否有三点共线 为什么 不共面的四点可以确定几个平面 3 三条直线相交于一点 最多确定几个平面 4 A B C为两个平面的公共点 则A B C之间的位置关系如何 2 1 1平面 3 一 复习 请叙述三条公理和三条推论 怎样判断点在直线 平面 上 怎样判断一条直线在一个平面内 怎样确定一个平面 1 用符号语言表示下列语句 1 点A在直线m上 但不在平面 内 2 直线m与平面 没有公共点 3 点M在平面 与平面 的交线上 4 点A和直线m都在平面 内 但点A不在直线m上 2 判断是非 1 一个平面长为100米 宽为80米 2 线段MN可以在一个平面内 直线AB不可能全在一个平面内 3 两个相交平面有时相交于一条线段 4 过不同三点有且只有一个平面 5 若四点不共面 则任意三点不共线 6 两两相交的三条直线可以确定一个平面 7 若两个平面有三个公共点 则这三个点在一条直线上 例1 如图 直线AB BC CA两两相交 并点分别为A B C 判断这三条直线是否共面 并说明理由 B A C 方法一 归纳 证明线共面 方法二 练习 过直线l外一点P引两条直线PA PB和直线l分别相交于A B两点 求证 三条直线PA PB l共面 例2 如图 已知 ABC的各顶点在平面 外 直线AB AC BC分别交平面 于P Q R 求证 P Q R三点共线 例3 如图 已知空间四边形ABCD 平面四边形EFGH的顶点分别在空间四边形的各边上 若EF与GH不平行 求证 三条直线EF GH BD共点 A B C D E F G H P 例4 画出图中过A B C三点的平面与其它平面的交线 A B C M S R N A B C 在正方体ABCD A1B1C1D1中 画出过M N P三点的截面 例5 A D C B A1 B1 C1 D1 M P N A D C A1 B1 C1 D1 B N M P 小结 1 公理1 2 3及公理3的3个推论 2 3个公理及推论的应用 3 证明点 线共面的一般方法 作业 3 求证 两两相交但不共点的四条直线共面 注意分类 4 如图 ABC在平面 外 它的三边所在直线分别交平面 于P Q R 求证 P Q R三点共线 A B C R Q P 1 一条直线和两条平行线都相交 求证 这三条直线共面 2 求证 空间四边形各边中点的连线共面 结合图形写出已知 求证 思考 一条直线把平面分成个部分 一个平面把空间分成个部分 三条直线把平面分成个部分 两个平面把空间分成个部分 两条直线把平面分成个部分 三个平面把空间分成个部分 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 5 平面的基本性质 例题分析 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的关系 四条线段顺次首尾连接 所得的图形一定是平面图形吗 为什么 练习 三角形 梯形是否