数学软件与数学建模2.doc

讲课程数学软件与数学模型的公共邮箱，是张元隆同学申请的，这里表示谢谢！网址：即可登录126网易邮箱用户名：MatL密码：111111讲如何在计算机上装MATLAB软件讲上次例3:例3: 求方程 x-1=0 的根，并画出根的图形。解: 先求方程 x-1=0 的根，因为信息表格，x=roots(1,0,0,0,0,0,-1) %求方程 x-1=0 的根x = -1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i 1.0000 我们知道方程 x-1=0 的六个根分布在单位圆上， 其表示一个单位圆，因为先画一个单位圆t=0:.01:2*pi; % 在0,2pi上取离散值,采样间隔为0.01plot(exp(i*t)% 画单位圆axis square最后把方程 x-1=0 的六个根叠加在单位圆上。hold onplot(real(x),imag(x),o)title(方程 x-1=0 的六个根)幻方问题： 在公元前2200年的大禹治水时代，就已观察到神龟背上的3阶幻方。数学游戏幻方问题：给定自然数1，2，. ，将其排成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上个数字之和都相等。这样的n阶方阵称为n阶幻方。每一行（或列、或对角线）之和称为幻和。例下面的表格是一个3阶幻方，其幻和等于15。 只要键入magic(3)就可得到. 人们不禁要问：（1） 存在性问题：即n阶幻方是否存在？（例如2阶 幻方就不存在）（2） 计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？（3） 构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方？组合数学就是研究上述提出的问题的。 矩阵的除法与线性方程组的解: 在线性代数中，没有除法，只有逆矩阵。矩阵除法是MATLAB从逆矩阵的概念引伸来的。先介绍逆矩阵的定义，对于任意阶方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使AV=I，其中I为n阶的单位矩阵eye(n) ，则V就是A的逆阵。数学符号表示为 逆阵V存在的条件是A的行列式det(A)不等于0，V的最古典的求法为高斯消去法，可参阅线性代数书。MATLAB已把它做成了内部函数inv，键入 V=inv(A) 就可得到A的逆矩阵。如果det(A)等于或很接近于零，MATIAB会显示出出错或警告信息： “A矩阵病态（ill-conditioned），结果精度不可靠”。 现在来看线性方程组A*X=B，设X为未知矩阵，A为系数矩阵，在等式两端同时左乘inv(A)，即 inv(A)*A*X=inv(A)*B 等式左端inv(A)*A=I ，I*X=X，因此上式成为 X=inv(A)*B=AB 把A的逆阵左乘B，MATLAB就记作AB，称之为“左除”。从A*X=B的阶数检验可知，B与A的行数相等，因此左除时的阶数检验条件是：两矩阵的行数必须相等。 如果原始方程的未知矩阵在左而系数矩阵在右，即 X*A=B 则按上述同样的方法可以写出 X=B*inv(A)=B/A 把A的逆阵右乘B，记作B/A，称之为“右除”。同理，右除时的阶数检验条件是：两矩阵的列数必须相等。这些结果可推广到A为非方阵。例4：讨论Hilbert矩阵: H(i,j)= ，i=1，2， ，m；j=1，2， ，n。Hilbert方阵有特点：行列式小，条件数大（即坏条件问题），且阶数越大，越接近于奇异阵，试用它组成线性方程组，探讨方程组误差与奇异性的关系。取: Hn*x=bn（即模型），其中：Hn为n阶Hilbert方阵，x=1,1,1 （1）求Hn的行列式和条件数 （2） 求bn（3）由方程组: Hn*x1=bn 求出x1且与x相比较，求出最大绝对误差。（注：用长格式显示,且取n: 420 ）。解: format longfor n=4:20 hn=hilb(n); d=det(hn) c=cond(hn) xx=ones(n,1); bn=hn*xx; x=hnbn e=max(abs(xx-x) pause(5)end例5：已知数据y为时间t的衰减指数曲线: y(t)=c1+c2e (即模型集)，由样本: t=0，0.3，0.8，1.1，1.6，2.3， y=0.82，0.72，0.63，0.6，0.55，0.5 (即数据)，求出参数（即模型参数）c=c1,c2的估计值（或拟合值）。解： 先用矩阵表示问题：在命令窗口键入t=0 .3 .8 1.1 1.6 2.3；y=.82 .72 .63 .6 .55 .5；c=ones(size(t),exp(-t)y命令窗口显示为c = 0.4760 0.3413在命令窗口键入t1=0:.01:2.5y1=ones(size(t1),exp(-t1)*cplot(t1,y1, k,t,y, ro)title(模型曲线与样本点)图形窗口显示例5：马鞍面x=-25:1.25:25;y=x;xx,yy=meshgrid(x,y);z=xx.2/9-yy.2/4+eps;surfl(xx,yy,z)colormap(gray)title(马鞍面)axis off例6：项链t=0:0.02:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=cos(2*t);plot3(x,y,z,y-,x,y,z,rd)view(-82,58);axis offlegend(项链,宝石)例7：作 =sin(n), n=1,3,5,15的图形,每幅图间隔