2010-2011学年广东省汕头市潮南区潮师高级中学高二(下).doc

菁优网2010-2011学年广东省汕头市潮南区潮师高级中学高二（下）期中数学试卷（选修2-2）（理科） 2010-2011学年广东省汕头市潮南区潮师高级中学高二（下）期中数学试卷（选修2-2）（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设，则等于（）ABCD2（5分）如图，阴影部分面积为（）Af（x）g（x）dxBg（x）f（x）dx+f（x）g（x）dxCf（x）g（x）dx+g（x）f（x）dxDg（x）f（x）dx3（5分）（2009淄博一模）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A10种B20种C25种D32种4（5分）若复数z=（1+i）2+，则z的虚部等于（）A1B3CiD3i5（5分）抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是（）ABCD6（5分）证明：1+n+1（n1），当n=2时，中间式子等于（）A1B1+C1+D1+7（5分）已知函数f（x）=x3+ax2x1在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）ABCD8（5分）（2006江西）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（）Af（0）+f（2）2f（1）Bf（0）+f（2）2f（1）Cf（0）+f（2）2f（1）Df（0）+f（2）2f（1）二、解答题（共6小题，满分30分）9（5分）若数列an满足，a1=1且an=2an1+1，则此数列的通项公式为_10（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，（x0），则不等式f（x）0的解集是_11（5分）周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm312（5分）设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值是_13（5分）若函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_14（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x2，2表示的曲线过原点，且在x=1处的切线斜率均为1，有以下命题：f（x）的解析式为：f（x）=x34x，x2，2f（x）的极值点有且仅有一个；f（x）的最大值与最小值之和等于零其中正确的命题是_三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）已知函数y=x3ax+6的一个单调增区间为（1，+），求a的值及函数的其他单调区间16（12分）如图，直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值17（14分）（2004辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？18（14分）已知a为实数，f（x）=（x24）（xa）（）若f（1）=0，求f（x）在4，4上的最大值和最小值；（）若f（x）在（，2）和2，+）上都是递增的，求a的取值范围19（14分）（2006江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围20（14分）（2011广州模拟）设函数f（x）=lnxpx+1，其中p为常数（）求函数f（x）的极值点；（）当p0时，若对任意的x0，恒有在f（x）0，求p的取值范围；（）求证：2010-2011学年广东省汕头市潮南区潮师高级中学高二（下）期中数学试卷（选修2-2）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设，则等于（）ABCD考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：计算题；极限思想分析：首先分析可以联想函数在一点处的导数的概念，又有已知函数的表达式，可求出函数的导函数，再把a代入即得到答案解答：解：因为由得到导函数：，由函数在一点导数的定义得：所以答案选A点评：此题主要考查的是函数在定点处的导数的概念与极限的联系，其中涉及到有已知函数求导函数的问题，题目属于中档题2（5分）如图，阴影部分面积为（）Af（x）g（x）dxBg（x）f（x）dx+f（x）g（x）dxCf（x）g（x）dx+g（x）f（x）dxDg（x）f（x）dx考点：定积分在求面积中的应用菁优网版权所有专题：计算题分析：由于面积是一个正数，故利用积分求面积时，被积函数应该是一个正数，由此规则结合图形选出正确选项解答：解：由图，在a，c上，g（x）的函数值大，在c，b上，f（x）的函数值大，故阴影部分的面积为acg（x）f（x）dx+cbf（x）g（x）dx故选B点评：本题考查定积分在求面积中的应用，确定被积区间与被函数是解题的关键，由于面积是一个正数，故选择被积函数时一定要注意其符号3（5分）（2009淄博一模）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A10种B20种C25种D32种考点：分步乘法计数原理菁优网版权所有分析：每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解解答：解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种故选D点评：本题要和5名同学争夺2个项目的冠军，冠军不并列的方法数加以区别4（5分）若复数z=（1+i）2+，则z的虚部等于（）A1B3CiD3i考点：复数的基本概念菁优网版权所有专题：计算题分析：根据题意需要对复数的分母进行实数化，即分子分母同乘以1+i，再整理出实部和虚部解答：解：由题意知，z=（1+i）2+=2i+=1+3i，此复数的虚部为3，故选B点评：本题考查两个复数代数形式的混合运算，以及虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，需要分子和分母同时除以分母的共轭复数5（5分）抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是（）ABCD考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题分析：求出函数f（x）=x2+bx+c在点x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据两直线平行的条件列方程求解b，a，最后利用平行直线间的距离求解即可解答：解：由题意得：f（x）=2x+b，f（1）=2+b，即函数在点x=1处的切线的斜率是2+b，直线bx+y+c=0的斜率是b，所以2+b=b，解得b=1抛物线y=x2+bx+c过点（1，2），2=11+c，c=2，故切线xy3=0与其平行直线xy2=0间的距离是=故选B点评：本题考查导数的几何意义、两直线平行的条件，把握好这两个知识，列式易求解问题6（5分）证明：1+n+1（n1），当n=2时，中间式子等于（）A1B1+C1+D1+考点：不等式菁优网版权所有专题：应用题分析：分析式子1+ 的结构特点，式子第一项的分母是1，末项的分母为，且相邻的项分母递增1解答：解：中间式子第一项的分母是1，末项的分母为，且相邻的项分母递增1，当n=2时，中间式子等于 1+，故选D点评：本题考查式子1+ 的结构特点，是一道基础题7（5分）已知函数f（x）=x3+ax2x1在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）ABCD考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题分析：由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点，即小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围解答：解：由f（x）=x3+ax2x1，得到f（x）=3x2+2ax1，因为函数在（，+）上是单调函数，所以f（x）=3x2+2ax10在（，+）恒成立，则=，所以实数a的取值范围是：，故选B点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题8（5分）（2006江西）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（）Af（0）+f（2）2f（1）Bf（0）+f（2）2f（1）Cf（0）+f（2）2f（1）Df（0）+f（2）2f（1）考点：导数的运算菁优网版权所有专题：分类讨论分析：分x1和x1两种情况对（x1）f（x）0进行讨论，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证解答：解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，+）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），f（0）+f（2）2f（1）故选C点评：本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题二、解答题（共6小题，满分30分）9（5分）若数列an满足，a1=1且an=2an1+1，则此数列的通项公式为an=2n1考点：数列递推式菁优网版权所有专题：计算题分析：由an=2an1+1，可得an+1=2（an1+1），a1+1=2，从而可得an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求解答：解：an=2an1+1，an+1=2（an1+1），a1+1=2an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列根据等比数列的通项公式可得，an+1=22n1=2n即an=2n11故答案为：2n11点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了构造特殊数列（等比数列、等差数列）这一知识点，属于基础题10（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，（x0），则不等式f（x）0的解集是（1，0）（1，+）考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题分析：先根据 =0判断函数 的单调性，进而分别看x1和0x1时f（x）与0的关系再根据函数的奇偶性判断1x0和x1时f（x）与0的关系，最后去x的并集即可得到答案解答：解：=，即x0时 是增函数当x1时，f（1）=0，f（x）0；0x1时，f（1）=0，f（x）0又f（x）是奇函数，所以1x0时，f（x）=f（x）0；x1时f（x）=f（x）0则不等式f（x）0的解集是（1，0）（1，+）故答案为：（1，0）（1，+）点评：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断11（5分）周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为cm3考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有专题：计算题分析：设出圆柱的长和宽，然后可以写出圆柱体积的表达式，利用导数法，分析出体积取最大值时，自变量的值，代入即可求出圆柱体积的最大值解答：解：矩形的周长为20cm设矩形的长为xcm，则宽为（10x）cm设绕其宽旋转成一个圆柱，则圆柱的底面半径为xcm，高为（10x）cm则圆柱的体积V=R2h=x2（10x）=4=当且仅当，即x=时，圆柱体积取最大值此时V=cm3故答案为：cm3点评：本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件，设出圆柱的长和宽，然后可以写出圆柱体积的表达式，是解答本题的关键12（5分）设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值是3考点：函数的值菁优网版权所有专题：计算题分析：由已知中，我们易求出f（1x）的表达式，进而得到（x）+f（1x）为定值，利用倒序相加法，即可求出f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值解答：解：，f（1x）=f（x）+f（1x）=f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）=6=3故答案为：3点评：本题考查的知识点是函数的值，倒序相加法，其中根据已知条件计算出f（1x）的表达式，进而得到（x）+f（1x）为定值，是解答本题的关键13（5分）若函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（2，2）考点：函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：求导，令导数为零，求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，只需函数的极大值大于零，且极小值小于零，解不等式组即可求得结果解答：解：f（x）=3x23=0解得x=1或x=1，当x（1，1）时，f（x）0，f（x）在（1，1）上单调递减；当x（，1）（1，+）时，f（x）0，f（x）在（，1）、（1，+）上单调递增，故当x=1时，f（x）取极小值2+a，当x=1时，f（x）取极大值2+a，f（x）=x33x+a有三个不同零点，解得2a2实数a的取值范围是：（2，2）故答案为：（2，2）点评：本题主要考查函数零点的判定方法，利用导数研究函数的极值和单调性，要使函数有三个零点，只要保证函数的极大值大于零和极小值小于零，是解题的关键，属中档题14（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x2，2表示的曲线过原点，且在x=1处的切线斜率均为1，有以下命题：f（x）的解析式为：f（x）=x34x，x2，2f（x）的极值点有且仅有一个；f（x）的最大值与最小值之和等于零其中正确的命题是考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题分析：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f（x）的最小值求出k的最大值，则命题得出判断；最后令f（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题得出判断解答：解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=1处的切线斜率均为1，则有 ，解得a=0，b=4所以f（x）=x34x，f（x）=3x24可见f（x）=x34x，因此正确；令f（x）=0，得x=因此不正确；所以f（x）在，内递减，且f（x）的极大值为f（）=，极小值为f（ ）=，两端点处f（2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=，则M+m=0，因此正确故答案为：点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，应用导数求函数的极值点，最大值与最小值等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）已知函数y=x3ax+6的一个单调增区间为（1，+），求a的值及函数的其他单调区间考点：函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：首先根据题意求出导数，再利用函数的一个单调区间求出a的值，进而利用导数求出函数其它的单调区间解答：解：y=3x2a，（2分）因为函数的一个递增区间为（1，+），所以1是方程y=3x2a=0的一个根 （4分）所以a=3所以y=3x23由3x230得x1或x1，所以（，1）是函数的一个递增区间 （9分）由3x230得1x1所以（1，1）是函数的一个递减区间 （10分）综上所述，a的值为3，函数的递增区间为（1，+）和（，1），递减区间为 （1，1）（12分）点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，解决此类问题的关键是熟练掌握求导公式并且正确计算16（12分）如图，直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值考点：定积分在求面积中的应用菁优网版权所有专题：数形结合分析：先由 得 ，根据直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得01k（xx2）kxdx=01（xx2）dx下面利用定积分的计算公式即可求得k值解答：解：由 得 （0k1）由题设得01k（xx2）kxdx=01（xx2）dx即01k（xx2）kxdx=（ ）|01=（1k）3=k=1直线方程为y=（1）x故k的值为：点评：研究平面图形的面积的一般步骤是：（1）画草图；（2）解方程组，求出交点坐标；（3）确定被积函数及上、下限；（4）进行计算17（14分）（2004辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？考点：函数模型的选择与应用菁优网版权所有专题：应用题分析：（1）由已知中赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为我们利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量（2）由已知得，若甲方净收入为v元，则v=st0.002t2再由我们可以得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式，利用导数法，我们易求出答案解答：解：（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为由，令w=0，得当tt0时，w0；当tt0时，w0，所以t=t0时，w取得最大值因此乙方取得最大年利润的年产量t0为（吨）；（2）设甲方净收入为v元，则v=st0.002t2将代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式又，令v=0，得s=20当s20时，v0；当s20时，v0，所以s=20时，v取得最大值因此甲方应向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入点评：函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一18（14分）已知a为实数，f（x）=（x24）（xa）（）若f（1）=0，求f（x）在4，4上的最大值和最小值；（）若f（x）在（，2）和2，+）上都是递增的，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：（I）求出f（x）的导函数，令导函数在x=1处的值为0求出a，将a的值代入导函数，令导函数等于0求出两个根，将两个根代入f（x）求出两个函数值，再求出区间的两个端点对应的函数值，从中选出最大值与最小值（II）求出f（x）的导函数，将已知条件的单调性转化为不等式恒成立，结合二次函数的图象，从区间的端点值的符号，对称轴与区间的关系及判别式加以限制，列出不等式组，求出a的范围解答：解：（I）f（x）=3x22ax4f（x）=（3x4）（x+1）令f（x）=0得x=，x=1f（1）=，f（4）=54，f（4）=42f（x）在4，4上的最大值和最小值分别是42，54（II）f（x）0对一切x（，2及2，+）均成立，或0解得2a2点评：求函数在闭区间上的最值问题，一般先利用导数求出函数的极值，再求出闭区间的两个端点对应的函数值，从中选出最值19（14分）（2006江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）求出f（x），因为函数在x=与x=1时都取得极值，所以得到f（）=0且f（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x1，2恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可解答：解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=3x2+2ax+b由解得，f（x）=3x2x2=（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（