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1 实对称矩阵的对角化 第三节 2 并非所有方阵都可对角化 但是实对称矩阵必可对角化 为了讨论实对称矩阵的有关性质 需要研究向量内积和正交的概念和性质 3 定义 两个n维向量 向量的内积具有如下基本特性 证略 一 向量的内积 正交和长度 4 向量长度的性质 由定义可知 定义 例1 证 5 二 正交向量组和正交矩阵 定义 显然零向量与任何向量都正交 n维基本单位向量组是两两正交的 显然有 6 例2 解 即得所求向量为 7 定义 则称之为正交向量组 定理 正交向量组必线性无关 证 8 施密特正交化方法 证略 9 例3 解 用施密特正交化方法 将下列向量组正交化 10 例4 解 将向量组 标准正交化 11 再单位化 12 例5 解 它的基础解系为 再正交化 13 正交矩阵的性质 证 14 Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交向量组 证明 定理 15 是单位正交向量组 16 Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 3 Q的行向量是两两正交的单位向量 4 Q的列向量是两两正交的单位向量 17 例6判别下列矩阵是否为正交矩阵 解 1 不是正交矩阵 18 2 所以它是正交矩阵 19 是正交矩阵 P每个列向量都是单位向量 且两两正交 所以P是正交矩阵 20 实对称矩阵的特征值都是实数 三 实对称矩阵的相似对角化 定理 并非所有方阵都可对角化 但是实对称矩阵必可对角化 证 证略 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交 定理 只证两个特征向量的情况 21 定理 证略 具体计算步骤如下 1 求出实对称矩阵A的全部特征值 2 若特征值是单根 则求出一个线性无关的特征向量 并加以单位化 若特征值是重根 则求出重数个线性无关的特征向量 然后用施密特正交化方法化为正交组 再单位化 3 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来 就得到了正交矩阵P 22 例7 解 再单位化 23 于是所求正交阵为 使 24 例8 解 特征向量 25 特征向量 26 再单位化 拼起来得 使 27 解 例9设三阶实对称矩阵A的特征值是1 2 3 属于特征值1 2的特征向量分别为 1 求属于特征值3的特征向量 2 求矩阵A 矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交 于是有 由于实对称 即解齐次线性方程组 其系数矩阵为 28 属于特征值3的特征向量为 2 所以 29 解 例10对下列各实对称矩阵 分别求出正交矩阵 使为对角阵 1 第一步求的特征值 30 解之得基础解系 解之得基础解系 31 解之得基础解系 第三步将特征向量正交化 第四步将特征向量单位化 32 33 34
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