专题三：数列练习-教师版-苏深强.doc

一、选择题1在等差数列an中，a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为A20B30C40 D50解析设公差为d，由a3a5a7a9a115a7100，a720，得3a9a133(a72d)(a76d)2a740.答案C2(2011天津)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN，则S10的值为A110 B90C90 D110解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S101020109(2)110.答案D3(2011郑州第一次质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且，则等于A. B.C. D.解析设a1a2a3a4A1，a5a6a7a8A2，a9a10a11a12A3，a13a14a15a16A4，an为等差数列，A1、A2、A3、A4也成等差数列，不妨设A11，则A22，A33，A44，故选D.答案D4等比数列an的公比q0，已知a21，an2an12an，则an的前2 010项和等于A2 010 B1C1 D0解析由an2an12an，得qn1qn2qn1，即q2q20，又q0，解得q1，又a21，a11，S2 0100.故选D.答案D5(2011江西)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10A1 B9C10 D55解析SnSmSnm，且a11，S11.可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1.即当n1时，an11，a101.答案A6已知数列an中，a2102，an1an4n，则数列的最小项是A第6项 B第7项C第8项 D第9项解析根据an1an4n，得a2a14，故a198，由于ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)9841424(n1)982n(n1)，所以2n22 226，当且仅当2n，即n7时等号成立故选B.答案B二、填空题7(2011湖南)设Sn是等差数列an(nN)的前n项和，且a11，a47，则S5_.解析设等差数列的公差为d.由a11，a47，得3da4a16，故d2，a59，S525.答案258等比数列an的前n项和为Sn，若S26，S430，则S6_.解析在等比数列an中S2，S4S2，S6S4成等比数列，S26，S4S224，S6S496，S6S496126.答案1269已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2nan，则数列an的通项公式是_解析由于Sn2nan，所以Sn12(n1)an1，后式减去前式，得Sn1Sn2an1an，即an1an1，变形为an12(an2)，则数列an2是以a12为首项，为公比的等比数列又a12a1，即a11.则an2(1)n1，所以an2n1.答案2n1三、解答题10已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得，a10，d2.ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.bn的前n项和Tn2n1.11(2011大纲全国卷)设数列an满足a10且1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，记Snk，证明：Sn1.解析(1)由题设1，即是公差为1的等差数列，又1，故n.所以an1.(2)证明由(1)得bn，Snk11.12定义一种新运算*，满足n*knk1(n，kN，为非零常数)(1)对于任意给定的k值，设ann*k(nN)，求证：数列an是等差数列；(2)对于任意给定的n值，设bkn*k(kN)，求证：数列bk是等比数列；(3)设cnn*n(nN)，试求数列cn的前n项和Sn.解析(1)证明ann*k(nN)，n*knk1(n，kN，为非零常数)an1an(n1)*kn*k(n1)k1nk1k1，又kN，为非零常数，数列an是等差数列(2)证明bkn*k(kN)，n*knk1(n，kN，为非零常数)，又为非零常数，数列bk是等比数列(3)由题知，cnn*nnn1(nN，为非零常数)，Snc1c2c3cn0232nn1，当1时，Sn12n；当1时，Sn2233nn.得：Sn.综上得Sn.一、选择题1向量v，v是直线yx的方向向量，a15，则数列an的前10项和为A50B100C150 D200解析依题意得an1，an1an.又a15，所以an5，数列an的前10项和为51050，选A.答案A2已知数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN，点(n，Sn)均在函数yax2x(aN)的图象上则An与an的奇偶性相异Bn与an的奇偶性相同Ca与an的奇偶性相异Da与an的奇偶性相同解析Snan2n，anSnSn1an2na(n1)2(n1)2an1a(n2)，an与1a的奇偶性相同，故选C.答案C3数列an的通项公式是an，若数列的前n项和为20，则项数n等于A11 B99C120 D121解析因为an2()，所以Sn2(1)2()2(n1)2(1)由题意得Sn2(1)20，解得n120.答案C4设f(n)2242721023n1(nN)，则f(n)等于A.(8n1) B.(8n11)C.(8n31) D.(8n41)解析显然，f(n)为数列23n1的前n项和Sn242721023n1与2的和数列23n1为一个首项为a124，公比为q23的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得Sn，故f(n)2Sn2(8n11)答案B5数列an前n项和为Sn，已知a1，且对任意正整数m，n，都有amnaman，若Sna恒成立，则实数a的最小值为A. B.C. D2解析由amnaman，知a2ma，a3ma，an ma，又因为a1，故ann，Sn，故a，所以a的最小值为，故选A.答案A6(2011湖州模拟)甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同到2010年11月份发现两间工厂的月产值又相同比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有A甲的产值小于乙的产值 B甲的产值等于乙的产值C甲的产值大于乙的产值 D不能确定解析设甲各个月份的产值为数列an，乙各个月份的产值为数列bn，则数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且a1b1，a11b11，故a6b6，由于在等差数列an中，公差不等于0，故a1a11，上面的等号不能成立，故a6b6.答案C二、填空题7(2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析设所构成数列an的首项为a1，公差为d，依题意即解得a5a14d4.答案8在一个数列中，若每一项(有限数列的最后一项除外)与它的后一项的积都为同一个常数，则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积若数列an是等积数列，且a102，公积为6，则a3a7a11a2 011的值为_解析由题意知，a9a113，由此有a8a122，可得结论：所有奇数项均为3，所有偶数项均为2.而a3a7a11a2 011为503个奇数项之积，所以a3a7a11a2 0113503.答案35039(2011常州模拟)数列an满足a12a2nan(nN)，则当an取得最大值时n等于_解析由题意可知：得：nann，即annn(n2，nN)，当n1时仍满足此式，故annn(nN)由得n，而nN，n5，即当n5时，an取得最大值答案5三、解答题10已知函数f(x).(1)若数列an满足a1，an1f(an)，bn，求证：是等比数列，并求数列bn的通项公式；(2)记Snb1b2bn，若m恒成立，求m的最小整数值解析(1)an1f(an)，bn，an1，an11.11.整理得4bn1bn1.设4(bn1p)bnp，则p.4bn，.数列是以b1为首项，为公比的等比数列bnn1，即bnn1.(2)Snb1b2bnnnn，g(n)是关于n的减函数，的最大值为.由于m恒成立，m，m的最小整数值为2.11(2011天津八校高三一次联考)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2ann(nN)(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式；(3)若bn(2n1)an2n1，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式128的最小n值解析(1)因为Sn2ann，令n1，解得a11，再分别令n2，n3，解得a23，a37.(2)因为Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN)，两式相减，得an2an11，所以an12(an11)(n2，nN)又因为a112，所以an1是首项为2，公比为2的等比数列则an12n.故an2n1.(3)因为bn(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.若128，则128，即2n127，所以n17，解得n6.所以满足不等式128的n的最小值为6.12(2011绵阳模拟)已知各项均为正数的数列an满足2a3an1an2a0，(nN)，且a3是a2，a4的等差中项，数列bn的前n项和Snn2.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)若Tn，求证：Tn；(3)若cn，Tnc1c2cn，求使Tnn2n1125成立的正整数n的最小值解析(1)2a3an1an2a0，(an12an)(2an1an)0，数列an的各项均为正数，an12an0，2an1an0，即an1an(nN)，数列an是以为公比的等比数列a3是a2，a4的等差中项，a2a42a3，即a1qa1q32a1q2，a1a1a1，a1，数列an的通项公式为ann.当n1时，b1S11；当n2时，bnSnSn1n2(n1)22n1.又2111，所以bn2n1.(2)证明Tn，Tn.(3)由(1)及cn得，cnn2n.Tnc1c2cn，Tn2222323424n2n，2Tn22223324425(n1)2nn2n1，得，Tn2222324252nn2n1n2n1(1n)2n12.要使Tnn2n1125成立，只需2n12125成立，即2n1127，所以n6.使Tnn2n1125成立的正整数n的最小值为6.一、选择题1用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两个是偶数解析至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数答案B2已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比有xn1(nN)，则a等于AnB2nCn2 Dnn解析第一个式子是n1的情况，此时a1，第二个式子是n2的情况，此时a4，第三个式子是n3的情况，此时a33，归纳可以知道ann.答案D3在不等边三角形中，a为最大边，要想得到ABC为钝角三角形的结论，三边a、b、c应满足的条件是Aa2b2c2 Ba2b2c2Ca2b2c2 Da2b2c2解析a为最大边，则角A为最大角，若ABC为钝角三角形，则角A必须为钝角，故cos A0，所以b2c2a20a2b2c2，选C.答案C4下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色的正方形个数为A5n3 B5nC3n5 D3n解析由题意可知，每个图案都是3行，第一个图案有3列，第二个图案有5列，第三个图案有7列，所以第n个图案有2n1列，所以第n个图案中正方形的个数为3(2n1)6n3，又知第n个图案中有n个黑色小正方形，所以第n个图案中白色正方形的个数为6n3n5n3.答案A5现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为A. B.C. D.解析由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为，所以选B.答案B6(2011福建)对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc，且c是整数，f(1)f(1)2c是偶数在选项中只有D中两数和为奇数，不可能是D.答案D二、填空题7(2011山东)设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.所以当n2时，fn(x)f(fn1(x).答案8下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，(an，bn，cn)(1)请写出cn的一个表达式，cn_.(2)若数列cn的前n项和为Mn，则M10_.(用数字作答)解析(1)通过观察归纳，得ann，bn2n，cnanbnn2n.(2)M10(1210)(222210)2 101.答案n2n；2 1019经过圆x2y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为_解析过圆上一点(x0，y0)的切线方程是把圆的方程中的x2，y2中的一个x和一个y分别用x0，y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的x2，y2中的一个x和一个y分别用x0，y0代替，即得到切线方程为1.答案1三、解答题10已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，令bn，则数列bn(nN)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解析由题意，得等差数