2012中考数学压轴题精选精析(31-40例).doc

2012中考数学压轴题精选精析（31-40例）31、（2011日照）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=kx相交于点A，B已知点B的坐标为（2，2），点A在第一象限内，且tanAOx=4过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）根据已知条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了；（2）根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可去顶AC和AC边上的高的长度，就可以计算出ABC的面积了；（3）根据题意画出图形，根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标，CDAB，得出直线CD相应的一次函数，然后结合D点也在抛物线上，解方程组，求D点坐标解答：解：（1）把点B（2，2）的坐标，代入y=kx，得：2=k2，k=4即双曲线的解析式为：y=4x（2分）设A点的坐标为（m，n）A点在双曲线上，mn=4又tanAOx=4，mn=4，即m=4n又，得：n2=1，n=1A点在第一象限，n=1，m=4，A点的坐标为（1，4）把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：&4=a+b&2=4a2b解得a=1，b=3；抛物线的解析式为：y=x2+3x；（4分）（2）ACx轴，点C的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x4=0，解得x1=4，x2=1（舍去）C点的坐标为（4，4），且AC=5，（6分）又ABC的高为6，ABC的面积=1256=15；（7分）（3）存在D点使ABD的面积等于ABC的面积过点C作CDAB交抛物线于另一点D因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（4，4），CDAB，所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12（9分）解方程组&y=x2+3x&y=2x+12得&x=3&y=18所以点D的坐标是（3，18）（10分）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和双曲线解析式以及三角形的面积求法关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式，曲线解析式和直线解析式32、（2011毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴（1）求该抛物线的解析式（2）若过点A（1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式（3）点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用三角形相似求出ABCCBM，得出BMBC=PMAC，即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），假设二次函数解析式为：y=a（x1）（x3），将D（0，3），代入y=a（x1）（x3），得：3=3a，a=1，抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3；（2）过点A（1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，12ACBC=6，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，二次函数对称轴为x=2，AC=3，BC=4，B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，&4=2k+b&0=k+b，解得：&k=43&b=43，y=43x+43；（3）当点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，MOAB，AM=AC，PM=PC，AC=1+2=3，BC=4，AB=5，AM=3，BM=2，MBP=ABC，BMP=ACB，ABCCBM，BMBC=PMAC，24=PC3，PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握33、（2011茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x5，所以MP2，AP2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，45t2245t+4）（0t5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=45，y=45（x1）（x5）=45x2245x+4=45（x3）2165，抛物线的对称轴是：x=3；（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又点P的坐标中x5，MP2，AP2；以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在RtAOM中，AM=OA2+OM2=42+32=5，抛物线对称轴过点M，在抛物线x5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，45t2245t+4）（0t5），过点N作NGy轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=45x+4；把x=t代入得：y=45x+4，则G（t，45t+4），此时：NG=45x+4（45t2245t+4）=45t2+205t，SACN=12NGOC=12（45t2+205t）5=2t2+10t=2（t52）2+252，当t=52时，CAN面积的最大值为252，由t=52，得：y=45t2245t+4=3，N（52，3）点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及三角形面积的最大值问题此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用34、（2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）由定点列式计算，从而得到b，c的值而得解析式；（2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证；（3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB=EF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点解答：解：（1）由题意得&b2=1&4cb24=4，解得：b=2，c=3，则解析式为：y=x2+2x3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x3，解得x=1或x=3，由题意点A（3，0），AC=9+9=32，CD=1+1=2，AD=4+16=25，由AC2+CD2=AD2，所以ACD为直角三角形；（3）由（2）知ME取最大值时ME=94，E（32，154），M（32，32），MF=32，BF=OBOF=32设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BPMF，BFPMP1（0，32）或P2（3，32），当P1（0，32）时，由（1）知y=x22x3=332，P1不在抛物线上当P2（3，32）时，由（1）知y=x22x3=032，P2不在抛物线上综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形点评：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点主要考查学生数形结合的数学思想方法35、（2011舟山）已知直线y=kx+3（k0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒（1）当k=1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求t的值（2）当k=34时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），求CD的长；设COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？考点：二次函数综合题。专题：几何综合题。分析：（1）由题意得由题意得到关于t的坐标按照两种情形解答，从而得到答案（2）以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根，又由过点D作DECP于点E，则DEC=AOB=90，又由DECAOB从而解得先求得三角形COD的面积为定值，又由RtPCORtOAB，在线段比例中t为3625是，h最大解答：解：（1）C（1，2），Q（2，0）由题意得：P（t，0），C（t，t+3），Q（3t，0）分两种情况讨论：情形一：当AQCAOB时，AQC=AOB=90，CQOA，CPOA，点P与点Q重合，OQ=OP，即3t=t，t=1.5情形二：当AQCAOB时，ACQ=AOB=90，OA=OB=3AOB是等腰直角三角形ACQ也是等腰直角三角形CPOAAQ=2CP，即t=2（t+3）t=2满足条件的t的值是1.5秒或2秒（2）由题意得：C（t，34t+3）以C为顶点的抛物线解析式是y=（xt）234t+3，由（xt）234t+3=34+3，解得x1=t，x2=t34过点D作DECP于点E，则DEC=AOB=90DEOAEDC=OABDECAOBDEAO=CDBAAO=4，AB=5，DE=t（t34）=34CD=DEBAAO=3454=1516CD=1516，CD边上的高=345=125，SCOD=121516125=98，SCOD为定值要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OCAB时OC最短，此时OC的长为125，BCO=90AOB=90COP=90BOC=OBA又CPOARtPCORtOABOPBO=OCBA，OP=OCBOBA=12535=3625，即t=3625当t为3625秒时，h的值最大点评：本题考查了二次函数的综合题，（1）由题意很容易知，由题意知P（t，0），C（t，t+3），Q（3t，0）代入，分两种情况解答（2）以点C为顶点的函数式，设法代入关于t的方程，又由DECAOB从而解得通过求解可知三角形COD的面积为定值，又由RtPCORtOAB，在线段比例中t为3625是，h最大从而解答36、（2011衢州）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）利用BOCCOA，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）可求得直线l1的解析式为y=3x+3，直线l2的解析式为y=33x+3，进而得出D，E，F点的坐标即可得出，三条线段数量关系；（3）利用等边三角形的判定方法得出ABK为正三角形，以及易知KDC为等腰三角形，进而得出MCK为等腰三角形E点坐标解答：解：（1）解法1：由题意易知：BOCCOA，COBO=AOCO，即CO3=1CO，CO=3，点C的坐标是（0，3），由题意，可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+3，把A（1，0），B（3，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+3，得&a+b+3=0&9a3b+3=0，解这个方程组，得&a=33&b=233，抛物线的函数解析式为y=33x2233x+3解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，又OB=3，OA=1，AB=4，OC=3，点C的坐标是（0，3），由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x1）（x+3），把C（0，3）代入函数解析式得a=33，所以，抛物线的函数解析式为y=33（x1）（x+3）；（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF理由如下：可求得直线l1的解析式为y=3x+3，直线l2的解析式为y=33x+3，抛物线的对称轴为直线x=1，由此可求得点K的坐标为（1，23），点D的坐标为（1，433），点E的坐标为（1，233），点F的坐标为（1，0），KD=233，DE=233，EF=233，KD=DE=EF解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，理由如下：由题意可知RtABC中，ABC=30，CAB=60，则可得EF=BFtan30=233，KF=AFtan60=23，由顶点D坐标（1，433）得DF=433，KD=DE=EF=233；（3）当点M的坐标分别为（2，3），（1，433）时，MCK为等腰三角形理由如下：（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（2，3），又点C的坐标为（0，3），则GCAB，可求得AB=BK=4，且ABK=60，即ABK为正三角形，CGK为正三角形当l2与抛物线交于点G，即l2AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（2，3），（ii）连接CD，由KD=233，CK=CG=2，CKD=30，易知KDC为等腰三角形，当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（1，433），（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，综上所述，当点M的坐标分别为（2，3），（1，433）时，MCK为等腰三角形点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握（2011台北）37.图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分。如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？(A) 223(B) 16(C) 18(D) 19解题技巧306090的直角三角形中，三个内角的对应边长比为1：2答案(D) 详解由图(十六)可知A点距离时钟圆周为10公分由图(十七)可知时钟的半径为16公分右图中，16106公分又AOB360 30因此AOB为306090 的直角三角形则：61：2得3即A点距离桌面16319公分故选(D) 教材对应三角形的边角关系（2011台湾第一次中考(国民中学基本学力测验）34.如图(十六)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为ABC、DEF的重心。固定D点，将DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图(十七)所示。求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？(A) 2：1(B) 3：2(C) 4：3(D) 5：4解题技巧1. 了解正三角形的外心、内心、重心为同一点。2. 306090三角形的边长比为1：2答案(C)详解将两图形作在同一图形上，连接，如右图所示A、D分别