牛顿迭代法_matlab程序.doc

20牛顿迭代法的MATLAB实现 云 磊 （襄樊学院，湖北 襄阳 441053) 摘要：牛顿迭代法是方程求根中的一种较快捷的迭代方法，但遇到较复杂的方程时计算量较大。文章采用了MATLAB编程 来实现牛顿迭代法，并给出了具体的计算例子。 关键词：牛顿迭代法；MATLAB；方程求根 中图分类号：O242.23 文献标识码：A 文章编号：1673-1131（2011）06-0020-2 Abstract： Newtons method is a good way to 03 nd a root for an equation,however, when it comes to a complex equation,the calculation is a hardwork. In this paper, by using matlab, Newtons method is easily realized,and it also gives some demonstration. K eywords：Newtons method ; MATLAB ;root a选定初始值。 在MATLAB中输入如下程序： x=-1:0.01:1; y=x.2+2*x.*exp(x)+exp(2*x); plot(x,y),grid on 得到下图 由图知，该方程的根在-10之间，可设迭代初始值为0。 b.求出迭代函数 用MATLAB求出f(x)： syms x diff(x2+2*x*exp(x)+exp(2*x),x,1) ans = 2*x+2*exp(x)+2*x*exp(x)+2*exp(2*x) 故迭代函数为y=x-(x.2+2*x.*exp(x)+exp(2*x)/(2*x+2* exp(x)+2*x.*exp(x)+2*exp(2*x) c.用MATLAB实施迭代，程序为： clear; x=0.0; for i=1:20 x=x-(x.2+2*x.*exp(x)+exp(2*x)/(2*x+2*exp(x)+2*x.* exp(x)+2*exp(2*x) end 可算得迭代数列的前20项为-0.2500,-0.3986,-0.4802, -0.5230,-0.5449,-0.5560,-0.5615,-0.5643,-0.5657,-0.5664,- 0.5668,-0.5670,-0.5671,-0.5671,-0.5671，说明迭代是收敛的， 且第五次迭代时误差就不超过10 -3 。牛顿迭代法是方程求根中的一种重要方法，适用范围广 泛，步骤简单。但如同所有的迭代法一样，它需要大量计算。而 MATLAB是一种强大的计算工具，利用MATLAB来实施牛顿法的计 算可以大大节省时间。 1牛顿迭代法原理及收敛性 (1)设已知方程f(x)=0，要求其根，现考虑用迭代法。将 其化为等价方程x=g(x)，令g(x)=x+h(x)f(x)，h(x)0为待 定函数。x=g(x)和f(x)=0应有共同的根，设此根为s，利用条 件g(x)=0来确定h(x)，有g(x)=1+h(x)f(x)+h(x)f(x)=1+h(x) f(x)=0，由此知h(x)应该满足 ，显然取 就可 以满足此条件且有h(s)0。于是g(x)确定为 ，它满足g(s)=0。 由此得到迭代格式x n+1 = n=0,1,2.这就是著名的牛顿迭代公式。 (2)计算可得 ，设x * 是f ( x ) = 0 的单根,有 f(x*)=0,f(x*)0，则 ，故在x*附近, 有 。根据不 。 2牛顿迭代法的几何解析 设方程f(x)=0的根s，为求出s，先估取一个靠近的s实根x n ， 在x n 处作曲线的切线，切线方程为y=f(x n )+f(x n )(x-x n )。令y=0， 可得切线与x轴的交点坐标x n+1 =x n -f(x n )/f(x n )，由图知x n+1 比x n 更靠近S 。因为这种几何背景，牛顿法又称“切线法”。 3 用MATLAB实现牛顿迭代实例 (1)用牛顿迭代法求方程x 2 +2xe x +e 2x =0的根。 动点原理知牛顿迭代法收敛。 2011 年第 6 期 （总第 116 期） 信 息 通 信 INFORMATION & COMMUNICATIONS 2011 （Sum. No 116） （下转第22页） 22 频偏校正后的接收序列表示为： (16) 利用长训练序列进行进一步的频偏校正可得： (17) (18) 基于循环前缀的频率偏差估计： 与基于时域导频的频率偏移估计相同，对于校正后的接收 序列 ，有： (19) 从而获得总的频偏估计为： (20) 4 仿真分析 假设MIMO-OFDM系统具有2个发射天线和2个接收天线，其 子载波数为1024，循环前缀长度为128，G=128，K=289，L p =706。 信道模型采用MIMO莱斯信道，直达径的莱斯因子为10。 图1给出了频偏估计性能曲线。其中，残余频差定义为 。 图1 频率偏差估计曲线 从图中可以看到，基于循环前缀的频率偏移估计算法性能 优于基于时域导频的频偏估计。 5 结语 由于MIMO-OFDM系统频率同步困难较多，目前所见的研究 文献有限。本文首先研究了现有文献中基于时域导频和频域导 频的频率同步算法，并指出其算法存在的问题。然后提出了采 用时域导频和循环前缀的频率同步方法以获得精确的频率偏 移估计算法，该方法既利用了时域导频，也利用循环前缀来提 高频率偏移的估计性能。在实现的复杂度上略有增加，但并没 有带来额外的时频资源开销，有一定的实用价值。 参考文献： 1 M Speth, H Meyr. Synchronization requirements for COFDM systems with transmit diversity. Global Telecommunications Conference, 2003, 3, pp: 1252- 1256. 2陆震, 宽带无线MIMO OFDM移动通信系统中的同步和 信道估计技术研究, 上海交通大学博士学位论文, 2008, pp: 31-42. 3A N Mody, G L Stuber, Synchronization for MIMO OFDM system. Global Telecommunications Conference, 2001, 1 (25-29), pp: 509-513. 4罗仁泽编著, 新一代无线移动通信系统关键技术, 北 京邮电大学出版社, 北京, 2007, pp: 51-87. 5Suehiro N., Hatori M., “Modulatable Orthogonal Sequences and their Application to SSMA Systems”, IEEE Trans. On Inf. Th., 1988, 34(1):93-100. 作者简介：张丙杰（1980-），男，河南平顶山人，博士研究生， 主要研究方向为卫星移动通信；胡捍英（1961-），男，河南南阳 人，教授，博士生导师，国家863计划信息技术领域通信技术组 专家，主要研究方向为移动通信系统；王大鸣（1971-），男，辽 宁大连人，副教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为移动通 信系统。 (2)用牛顿迭代法求方程x 2 =a(a0)的近似正实根，由此建 立一种求平方根的计算方法。 a.计算可知迭代格式为x n+1 =0.5(x n +a/x n ) b.MATLAB程序： 首先建立M文件fun1，程序为：function y=fun1(a,x) y=0.5*(x+a/x); 再建立M文件it，程序为：function a,x,y,n=it(a,x) x1=fun1(a,x); n=1; while(abs(x1-x)=1e-5) x=x1; x1=fun1(a,x); n=n+1; end y=fun1(a,x) 如此一种求平方根的计算方法就建立好了。若要用牛顿 迭代求某数，比如5的平方根，初始值取做2，只需输入命令： it(5,2)，立即可得结果y=2.2361。 4 结语 本文通过两个例子说明，将MATLAB运用到牛顿迭代法中， 可以大大节省计算量，提高精确度，还可以利用M文件将有用的 程序存入，以后计算同种类型的问题时即可随时调用，是一种 行之有效的办法。 参考文献： 1刘卫国.MATLAB程序设计教程M.中国水利水电出版 社，20