高中数学 轨迹问题的求法课件 人教版第五册.ppt

轨迹方程的求法 求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一 也是高考考查的重点内容之一 由于动点运动规律千差万别 因此求动点轨迹方程的方法也多种多样 这里介绍几种常用的方法 1 直接法 例1 动点p到直线x y 6的距离的平方等于由两坐标轴及点p到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积 求p的轨迹方程 解 设动点p x y 则s x y 点p到直线x十y 6的距离 故p点的轨迹方程为 即 x y 6 2 2 xy 当xy 0时 方程为 x 6 2 y 6 2 36当xy 0时 方程为x2 4xy y2 12x 21y 36 0 2 定义法 例2 如图 在 abc中边bc a 若三内角满足sinc sinb sina 求点a的轨迹方程 解 以bc所在的直线为x轴 bc中点为坐标原点 建立如图所示的直角坐标系 则b 一a 0 c a 0 设a x y 则 由sinc sinb sina c b a即 ab ac a 定值 由双曲线定义知轨迹方程为 3 相关点法 代入法 例3 从定点a 0 4 连接双曲线x2一4y2 16上任一点q 求内分线段aq成1 2的分点p的轨迹 解 设q xl y1 p x y 由题设 则 q x1 y2 在双曲线上 即 4 参数法 例题4 已知线段ab的长为a p分ab为ap pb 2 l两部分 当a点在y轴上运动时 b点在x轴上运动 求动点p的轨迹方程 解 设动点p x y ab和x轴的夹角为 作pm x于m pn y轴于n ab a ap a pb a 动点p的参数方程为 即 5 交轨法 例6 椭圆与双曲线有共同的焦点f1 一4 0 f2 4 0 且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 求椭圆与双曲线交点的轨迹 解 设双曲线的实半轴长为a 2 a 4 则椭圆长半轴长为2a 由半焦距为4 得 解得 代入 得a2 2 x 1 2 当x 0时得 x 5 2 y2 9当x 0时得 x 5 2 y2 9由2 a 4 知2 x 8 故所求轨迹为半径为3 分别以 5 0 及 5 0 圆心的两个圆 2003年高考第22题 已知常数a 0 在矩形abcd中 ab 4 bc 4a o为ab中点 点e f g分别在bc cd da上移动 且 p为ge与of的交点 如图 问是否存在两个定点 使p到这两点的距离的和为定值 若存在 求出这两点的坐标及此定值 若不存在 请说明理由 解 根据题意 首先求出点p坐标满足的方程 根据此判断是否存在两定点 使得点p到两定点的距离和为定值 依题意有a 2 0 b 2 0 c 2 4a d 2 4a 设 k 0 k 1 由此有e 2 4ak f 2 4k 4a g 2 4a 4ak 直线of的方程为2ax 2k 1 y 0 直线ge的方程为 a 2k 1 x y 2a 0 从 消去参数k 得点p x y 坐标满足方程2a2x2 y2 2ay 0 整理得 当a2 时 点p的轨迹为圆弧 所以不存在符合题意的两点 当a2 时 点p的轨迹为椭圆的一部分 点p到该椭圆焦点的距离之和为定值 其中当a2 时 点p到两椭圆焦点 的距离之和为定值 当a2 时 点p到椭圆两个焦点 a 的距离之和为定值2a 2003年高考题20 本小题满分12分 在某海滨城市附近海面有一台风 据监测 当前台风中心位于城市o 如图 的东偏南 arccos 方向300km的海面p处 并以20km h的速度问西偏北450方向移动 台风侵袭的范围为圆形区域 当前半径为60km 并以10km h的速度不断增大 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭 解 以o为原点 正东方向为x轴正向 建立直角坐标系在时刻t h 台风中心