第七章 解析几何与微分几何 SECTION5.doc

5 二次曲线一、 圆圆的方程、圆心与半径方 程 与 图 形圆 心 与 半 径 x2 + y2 = R2 或 (参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角) 圆心 G(0,0) 半径 r = R(x - a)2+(y - b)2 = R2或 (参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角) 圆心 G(a, b) 半径 r = Rx2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0m2 + n2 qr2 + 2r (mcost + nsint) + q = 0(极坐标方程) 圆心 G(-m,-n) 半径 r2 - 2rr0cos(j - j0) + r02 = R2 (极坐标方程) 圆心 G(r0,j0) 半径 r = Rx2 + y2 = 2Rx 或 r = 2Rcosj (极坐标方程) 圆心 G(R, 0) 半径 r = R x2 + y2 = 2Ry 或 r = 2Rsinj (极坐标方程) 圆心 G(0,R) 半径 r = R 圆的切线圆x2 + y2 = R2 上一点M(x0, y0)的切线方程为 x0x + y0y = R2圆x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0上一点M(x0, y0)的切线方程为x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0两个圆的交角、圆束与根轴方 程 与 图 形公 式 与 说 明两个圆的交角C1x2 + y2 + 2m1x + 2n1y + q1 = 0C2x2 + y2 + 2m2x + 2n2y + q2 = 0两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.两个圆C1和C2正交条件为2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0圆束两个圆的根轴ClC1 + lC2 = 0(l为参数)或 (l + 1)(x2 + y2) + 2(m1 + lm2)x + 2(n1+ln2)y + (q1 + lq2) = 0根轴方程为 2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0对l(l -1)的一个确定值，Cl表示一个圆.当l取一切值(l -1)时，Cl所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆Cl的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.(a)如果C1和C2 相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a).(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b).(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c). 从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.反演设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M与它对应.使得满足下列两个条件： （i）O, M, M共线，（ii）OMOM = r2，这种点M称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.由于M和M的关系是对称的，所以M也是M的反演点.因r2 0，所以M和M都在O的同侧.M和M之间的对应称为关于定圆C的反演.取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M(x,y)的对应方程为 反演具有性质： 图7.11不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.2通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.3通过反演中心的一条直线变为它自己.4不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.5反演圆变为它自己.6与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.7如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1, C2必交于M的反演点M.8如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1, C2必在M的反演点M相切.9两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.二、 椭圆1 椭圆的基本元素主轴(对称轴)顶 点A, B, C, D椭圆中心G焦 点F1, F2焦 距离 心 率压缩系数焦点参数(等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H)焦点半径r1, r2(椭圆上一点(x, y)到焦点的距离)r1 = a - ex，r2 = a + ex直 径PQ(通过椭圆中心的弦)图 7.2共轭直径二直径斜率为，且满足准 线L1和L2(平行于短轴，到短轴的距离为)2 椭圆的方程、顶点、中心与焦点方 程 与 图 形顶点中心焦点 (标准方程)或(参数方程，t为与M点对应的同心圆(半径为a, b)的半径与x轴正方向的夹角)顶点A, B(a, 0)C, D(0,b)中心G(0,0)焦点F1, F2(c,0) 或 (t同上) 顶点A, B(g a, h) C, D(g, h b)中心G(g, h)焦点F1, F2(g c, h) 顶点A, B(0, a) C, D( b, 0)中心G (0, 0)焦点F1, F2(0, c) ，e 0时取同号，k0时取异号)轴 长渐 近 线 (等轴双曲线) 顶 点 (当D0时取异号)中 心轴 长 渐 近 线 3.双曲线的性质1 双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点M的轨迹(使的各点属于双曲线的一支，而使的各点属于其另一支).2 双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L1)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹().3 双曲线上一点M的切线(MT)的方程为 图 7.8它把M点两焦点半径间的内角(即)平分(即)，而M点的法线MN把外角(即)平分(图7.7).如果双曲线的切线的斜率为k，则其切线的方程为式中正负号表示在直径两端点的两切线.4两条渐近线之间的切线线段TT1被切点M平分(TM = MT1)，且DOTT1的面积，平行四边形OJMI的面积(图7.8的阴影部分)5双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(图7.9) 图 7.9如果两共轭直径的长分别为2a1,2b1, 两直径与实轴夹角(锐角)分别为a和b(a0时，开口向上， 当a0时，开口向下)焦点参数 与x轴的交点 顶 点 焦点参数3 抛物线的性质 图 7.121抛物线是到一定点F(焦点)的距离与到一定直线L(准线)的距离相等的动点M的轨迹(MF=ME)(图7.12)2抛物线上一点的切线MT的方程为它把M点的焦点半径与直径的夹角(FMG)平分(FMT=TMG)，并且一切与切线MT平行的弦被过M点的直径平分(PI=IQ).如果抛物线的切线的斜率为k，则其切线的方程为 3抛物线的任两切线的夹角等于两切点的焦点半径的夹角的一半.4从焦点F作抛物线在点M的切线的垂线，则垂足的轨迹为在顶点的切线.4 抛物线各量计算公式 抛物线各量计 算 公 式曲率半径R式中a为点M(x, y)的切线与主轴的夹角，n为法线MN之长.特别，顶点的曲率半径R0 = p 弧长= 面积S弓形(MOD)的面积=平行四边形(MBCD)的面积 即 这里MD弓形弦长,CD平行于主轴,BC与抛物线相切,h为该平行四边形的高(即弓形拱高),特别,几何重心G弓形(MOD)的重心(BC平行于MD,P为切点,PQ平行于Ox)五、 一般二次曲线1二次曲线的一般性质上面所列举的椭圆、双曲线、抛物线等,它们的方程关于x,y都是二次的,关于x,y的一般二次方程的形式是它所表示的曲线称为一般二次曲线.这里列举它们的一些共同性质.直线与二次曲线的交点 一直线与一个二次曲线交于两点(实的,虚的,重合的).二次曲线的直径与中心 一个二次曲线的平行于已知方向的弦的中点在一直线上,称它为二次曲线的直径,它平分某一组弦.设已知方向的方向数为a,b,则直径的方程为或改写为由此可见,二次曲线的直径组成一个直线束.束内任一直径通过下列两直线交点:1即.这时二次曲线的一切直径通过同一点,称为中心,这种曲线称为有心二次曲线,中心的坐标为2即(i) 这时曲线无中心;(ii) 这时曲线有无限个中心,即中心在同一直线上(中心直线).这两种曲线称为无心二次曲线.二次曲线的主轴(或对称轴) 如果直径垂直于被它所平分的弦,则称它为二次曲线的主轴(对称轴), 无心二次曲线有一条实的主轴;有心二次曲线有两条实的主轴,它们是互相垂直的,交点就是中心.二次曲线的切线与法线 二次曲线上的一点的切线方程为 在点M与二次曲线的切线垂直的直线称为在点M的法线,它的方程为2二次曲线的不变量由一般二次曲线的方程 (1)的系数所组成的下列三个函数:称为二次曲线的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式D称为二次方程(1)的判别式.3二次曲线的标准方程与形状不 变 量坐标变换后的标准方程曲线形状有心二次曲线式中 A , C是特征方程 的两特征根时为椭圆时为虚椭圆有一公共实点的一对虚直线双曲线相交两直线无心二次曲线式中 抛物线时为平行两直线时为重合二直线时为一对虚直线4二次曲线的几种情况A图 形顶点中心焦点参数抛物线顶点 焦点参数 椭