数学建模竞赛课件-微分方程模型.ppt

微分方程模型 理学院 方郁文2011年7月7日 微分方程模型建模步骤 1 模型准备2 模型假设3 模型构成4 模型求解与分析5 模型检验6 模型应用 1 模型准备 如果想对某个实际问题进行数学建模 通常要先了解该问题的实际背景和建模目的 尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题 然后查找搜集与建模要求有关的资料和信息为接下来的数学建模做准备 根据实际要求确定要研究的量 如自变量 未知函数 必要参数 这一过程称为模型准备 对于微分方程模型而言 要寻找表示导数的常用词 如 速率 增长 在生物学以及人口问题研究中 衰变 在放射性问题中 以及 边际的 在经济学中 等 2 模型假设 一个实际问题会涉及到很多因素 如果把涉及的所有因素都考虑到 既不可能也没必要 而且还会使问题复杂化导致建模失败 要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设 这一过程称为模型假设 在明确建模目的和掌握相关资料的基础上 去除一些次要因素 以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设可以为数学建模带来方便使问题得到解决 3 模型构成 有了模型假设后 就可以选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系 这一过程称为模型构成 对于微分方程而言 就是建立瞬时表达式 根据自变量有微小改变 t时 因变量的增量 X 建立起在时段 t上的增量表达式 即建立瞬间表达式 有些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息 它们独立于微分方程而成立 为了完整充分地给出问题的数学陈述 应将这些给定的条件和微分方程一起列出 4 模型求解与分析 采用解方程 计算机模拟 定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解 其中有些可以用计算机软件 如MATLAB 来做这些工作 同时有时候还需要对获得结果进行数学上的分析 如分析变量之间的依赖关系和稳定状况等 这一过程称为模型求解与分析 5 模型检验 把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较以检验模型的合理性称为模型检验 模型检验对建模的成败是很重要的 如果检验结果不符合实际 应该修改补充假设或改换其他数学方法重新做模型构成 通常 一个模型要经过如此多次反复修改才能得到满意结果 6 模型应用 利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析 解释和预报 以供决策者参考称为模型应用 关于微分方程模型的一些例子模型 静态模型 参数常定模型指决定系统特性的因素不随着时间的推移而变化的系统模型 静态模型的假定本身是对系统的一种简化 是相对比较简单的 参数时变模型指系统的状态随时间的推移而变化 动态模型 背景 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律 控制人口过快增长 一 人口增长模型 指数增长模型 马尔萨斯提出 1798 常用的计算公式 x t 时刻t的人口 模型假设 人口增长速率与当时人口数成正比 比例系数为是常数r r为相对人口增长率 今年人口x0 年增长率r k年后人口 指数增长模型的结论 应用及局限性 结论 随着时间增加 人口按指数规律无限增长 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合应用 可用于短期人口增长预测局限性 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程实际上人口增长率r不是常数 逐渐下降 阻滞增长模型 Logistic模型 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r 固有增长率 xm 人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 x t S形曲线 x增加先快后慢 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报 必须先估计模型参数r或r xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例 美国人口数据 单位 百万 专家估计 模型检验 用模型计算2000年美国人口 与实际数据比较 实际为281 4 百万 模型应用 预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 阻滞增长模型的结论 应用及局限性 结论 1 不管人口开始时处于什么状态 随着时间的增长 人口最终趋近于其人口最大容量 2 当人口总数超过人口容量时 人口数量将减少 3 人口总数小于人口容量时 人口数量会增加 应用 可用来做相对较长时期的人口预算局限性 它为单调曲线 二 经济增长模型 1 建立产值与资金 劳动力之间的关系2 研究资金与劳动力的最佳分配 投资效益最大3 调节资金与劳动力的增长率 使经济 生长率 增长 1 道格拉斯 Douglas 生产函数 产值Q t 资金K t 劳动力L t 技术f t f0 F为待定函数 模型假设 静态模型 每个劳动力的产值 每个劳动力的投资 z随着y的增加而增长 但增长速度递减 Douglas生产函数 这说明了产值随着资金和劳动力的增长而增长 但是增长速度在减慢 QK 单位资金创造的产值 QL 单位劳动力创造的产值 资金在产值中的份额 1 劳动力在产值中的份额 更一般的道格拉斯 Douglas 生产函数 Douglas生产函数 求K L 每个劳动力占有的资金 使效益S最大 资金和劳动力创造的效益 资金来自贷款 利率r 劳动力付工资w 2 资金与劳动力的最佳分配 静态模型 这就是资金与劳动力的最佳分配 可见 w r K L 这是符合常识的 3 经济 生产率 增长的条件 动态模型 常用衡量经济增长指标 Q t 增长或Z t Q t L t 增长 模型假设 1 投资增长率与产值成正比2 劳动力相对增长率为常数 Bernoulli方程 产值Q t 增长 a 经济增长的条件 这说明 如果劳动力增加 产量增加 劳动力减少 产量只能在有限的时间内保持增加 每个劳动力的产值Z t Q t L t 增长 b 经济增长的条件 劳动力增长率小于初始投资增长率 结论 道格拉斯 Douglas 生产函数是计量经济学中的一个重要的模型 在此基础上讨论的资金和劳动力是一个静态模型 而利用微分方程研究的劳动生产率增长条件是一个动态模型 虽然推导过程繁琐 但是结果简明 并且能做出合理的解释 三 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律 用机理分析方法建立模型 已感染人数 病人 x t 每个病人每天有效接触 足以使人致病 人数为 模型1 假设 随时间增加 病人人数一直增加 不符合实际 建模 模型2 区分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假设 1 总人数N不变 病人和健康人的比例分别为 2 每个病人每天有效接触人数为 且使接触的健康人致病 建模 日接触率 SI模型 tm 传染病高潮到来时刻 日接触率 tm 这表示所有人最终将被传染 全为病人 不合实际没有考虑病人可以治愈 模型3 病人治愈成为健康人 健康人可再次被感染 增加假设 SIS模型 3 病人每天治愈的比例为 日治愈率 建模 日接触率 1 感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数 称为接触数 接触数 1 阈值 表明感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 局限 有些病治愈后具有很强的免疫力 模型4 病人治愈后即移出感染系统 称移出者 SIR模型 假设 1 总人数N不变 病人 健康人和移出者的比例分别为 2 病人的日接触率 日治愈率 接触数 建模 需建立的两个方程 相轨线的定义域 s t 单调减 相轨线的方向 1 阈值 P1 s0 1 i t 先升后降至0 P2 s0 1 i t 单调降至0 相轨线及其分析 预防传染病蔓延的手段 日接触率 卫生水平 日治愈率 医疗水平 传染病不蔓延的条件 s0 1 降低s0 提高r0 提高阈值1 的估计 被传染人数的估计 记被传染人数比例 这说明 提高阈值1 或降低s0 降低被传染人数比例x 稳定性模型 对象仍是动态过程 而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定 不求解微分方程 而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性 四 捕鱼业的持续收获 渔业是再生资源 再生资源应适度开发 在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益 问题及分析 在捕捞量稳定的条件下 如何控制捕捞使产量最大或效益最佳 如果使捕捞量等于自然增长量 渔场鱼量将保持不变 则捕捞量稳定 背景 产量模型 模型假设 1 无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律 2 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 r 固有增长率 N 最大鱼量 h x Ex E 捕捞强度 x t 渔场鱼量 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x t 只需知道x t 稳定的条件 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性 自治 方程 F x 0的根x0 微分方程的平衡点 不求x t 判断x0稳定性的方法 直接法 1 的近似线性方程 产量模型 E 捕捞强度 r 固有增长率 稳定性判断 x0稳定 可得到稳定产量 x1稳定 渔场干枯 只要适量的捕捞 就可以使渔场鱼量稳定在x0 在捕捞量稳定的条件下 控制捕捞强度使产量最大 P的横坐标x0 平衡点 P的纵坐标h 产量 产量最大 结论 控制渔场