§4数列在日常经济生活中的应用.ppt

4数列在日常经济生活中的应用 1000英磅赠给波士顿的居民 如果他们接受了这一千英磅 那么这笔钱应该托付给由选举出来的公民组成的基金会 基金会得把这笔钱按每年5 的利率借给一些年轻的手工业者去生息 这笔钱过了100年增加到131000英磅 我希望 那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物 剩下的31000英磅拿去继续生息100年 在第二个100年末了 这笔款增加到4061000英磅 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支配 而其余的3000000英磅让马萨诸州组成同样的基金会来管理 过此之后 我可不敢多作主张了 神奇遗嘱 富兰克林 1706 1790 1000 5 131000 100000 31000 4061000 1061000 3000000 等差数列 等比数列是日常经济生活中的重要数学模型 例如存款 贷款 购物 房 车 分期付款 保险 资产折旧等问题都与其相关 以银行存款为例 它是老百姓日常生活中最基本的经济活动 银行存款计息方式有两种 单利和复利 它们分别以等差数列和等比数列为数学模型 下面分别举例说明 单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息 对本金所产生的利息不再计算利息 其公式为利息 本金 利率 存期以符号P代表本金 n代表存期 r代表利率 S代表本金与利息和 以下简称本利和 则有S P 1 nr 复利把上期末的本利和作为下一期的本金 在计算时每一期本金的数额是不同的 复利的计算公式是S P 1 r n 例1 零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务 即每月定时存入一笔相同数目的现金 这是零存 到约定日期 可以取出全部本利和 这是整取 规定每次存入的钱不计复利 暂不考虑利息税 1 若每月存入金额为x元 月利率r保持不变 存期为n个月 试推导出到期整取时本利和的公式 2 若每月初存入500元 月利率为0 3 到第36个月末整取时的本利和是多少 3 若每月初存入一定金额 月利率是0 3 希望到第12个月末整取时取得本利和2000元 那么每月初应存入的金额是多少 分析 零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利 即按单利计息 利息 本金 利率 存期 解 1 根据题意 第1个月存入的x元 到期利息为x r n元 第2个月存入的x元 到期利息为x r n 1 元 第n个月存入的x元 到期利息为xr元 不难看出 这是一个等差数列求和的问题 各月利息之和为 而本金为nx元 这样就得到本利和公式 2 每月存入500元 月利率为0 3 根据 式 本利和为 3 依题意 在 式中 y 2000 r 0 3 n 12 答 每月应存入163 48元 例2 定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存 例如 储户某日存入一笔1年期定期存款 1年后 如果储户不取出本利和 则银行自动办理转存业务 第2年的本金就是第1年的本利和 按照定期存款自动转存的储蓄业务 暂不考虑利息税 我们来讨论以下问题 1 如果储户存入定期为1年的P元存款 定期年利率为r 连存n年后 再取出本利和 试求出储户n年后所得本利和的公式 2 如果存入1万元定期存款 存期为1年 年利率为2 79 那么5年后共得本利和多少万元 精确到0 001 解 1 记n年后得到的本利和为an 根据题意 第1年存入的本金P元 1年后到期利息为P r 1年后本利和为a1 P P r P 1 r 元 2年后到期利息为P 1 r r元 2年后本利和为a2 P 1 r P 1 r r P 1 r 2 元 各年的本利和是一个以a1 P 1 r 为首项 公比q 1 r的等比数列 an 故n年后到期的本利和an a1qn 1 P 1 r 1 r n 1 P 1 r n 元 复利公式 2 根据上式 5年后本利和为a5 1 1 0 0279 5 1 148 万元 答 5年后得本利和约为1 148万元 根据以上表格中提供的数据 给你10万元 给你5年时间 请你设计一种最佳的存款方案 暂不考虑利息税 1 直接存入5年定期 2 先存2年定期 取出本利后再存3年定期 3 1年定期自动转存型 为什么银行存款是存期越长 年利率越高 分期付款的有关规定 1 分期付款分若干次付款 每次付款额相同 各次付款的时间间隔相同 2 分期付款中双方的每月 年 利息均按复利计算 即上月 年 的利息要计入本金 3 各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和 等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和 这在市场经济中是相对公平的 例3 分期付款模型小华准备购买一台售价为5000元的电脑 采用分期付款方式 并在一年内将款全部付清 商场提出的付款方式为 购买后2个月第1次付款 再过2个月第2次付款 购买后12个月第6次付款 每次付款金额相同 约定月利率为0 8 每月利息按复利计算 求小华每期付的金额是多少 分析 小华在12月中共付款6次 它们在12个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等 解 设小华每期还款元 则 购买2个月后第1次付款元 此元到10个月后本利和为元 购买4个月后第2次付款元 此元到8个月后本利和为元 购买12个月后第6次付款元 此元当月的本利和为元 又小华一年后应还给商场的总金额增值为 答 小华每期付款的金额为880 8元 通过