§5.3相似矩阵与对角化(吕).ppt

5 3相似矩阵 一 相似矩阵的概念 二 相似矩阵的性质 三 n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件 一 相似矩阵的概念 定义1设A B为n阶方阵 如果存在可逆矩阵P 使得P 1AP B成立 则称矩阵A与B相似 记为A B 称P为相似变换矩阵 相似关系是矩阵间的一种等价关系 即满足自反性 A A 对称性 若A B 则B A传递性 若A B B 则A 1 如果方阵A与B相似 则它们有相同的特征多项式 从而有相同的特征值 即若A B 则 lE A lE B lE B P 1 lE P P 1AP lE P 1AP P 1 lE A P P 1 lE A P lE A 二 相似矩阵的性质 A与B有相同的特征多项式 所以它们有相同的特征值 2 相似矩阵的行列式相等 即若A B 则 A B B P 1AP P 1 A P A P 1P A 证明 因为P 1AP B 3 相似矩阵有相同的迹 即若A B 则 相似矩阵或者都可逆 或者都不可逆 若都可逆 其逆矩阵也相似 5 相似矩阵有相同的秩 即若A B 则R A R B 注意 以上性质均为相似的必要条件 可以用来排除哪些矩阵不相似 利用对角矩阵计算矩阵多项式 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 定理 证明 例1若 求x y 解得 x 17 y 12 解 由于 和 相似 所以tr A tr B A B 即 解 由于矩阵 和 相似 所以 A D 即 A D 12 例 设3阶方阵A相似于矩阵 求 A l1X1 l2X2 lnXn X1 X2 Xn 思考题 三 n阶方阵与对角矩阵相似的条件 相似矩阵具有许多共同的性质 因此 对于n阶方阵A 我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵 在研究A的性质时 只需先研究这一较简单矩阵的同类性质 下页 若方阵A与一个对角阵L相似 则称方阵A可对角化 记为A L 并称L是A的相似标准形 问n阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件 定理4 3n阶矩阵A与n阶对角矩阵L diag l1 l2 ln 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量 必要性 设存在可逆矩阵P X1 X2 Xn 使P 1AP L 即AP PL 则有 可得AXi liXi i 1 2 n 表明L的对角线元素li是A的特征值 而可逆矩阵P的列向量X1 X2 Xn都是非零向量 因而都是A的特征向量 由于P可逆 这n个特征向量X1 X2 Xn线性无关 证明 AX1 AX2 AXn l1X1 l2X2 lnXn P165TH5 2 1 定理4 3n阶矩阵A与n阶对角矩阵L diag l1 l2 ln 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量 证明 充分性 设X1 X2 Xn为A的n个线性无关特征向量 它们所对应的特征值依次为l1 l2 ln 则有AXi liXi i 1 2 n 令P X1 X2 Xn 则 l1X1 l2X2 lnXn A X1 X2 Xn AX1 AX2 AXn AP X1 X2 Xn PL 因为 X1 X2 Xn 线性无关 所以P可逆 用P 1左乘上式两端得P 1AP L 即矩阵A与对角矩阵L相似 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的 即设是矩阵A的不同的特征值 又设对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 则 仍是线性无关的 引理 讨论 1 如何判断一个方阵可对角化 2 如何写出相似变换矩阵及相似对角阵 设X1 X2 Xn为A的n个线性无关特征向量 它们所对应的特征值依次为l1 l2 ln 则取P X1 X2 Xn L diag l1 l2 ln 则P 1AP L 下页 方阵可对角化的充分条件 推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1 l2 ln 则A与对角矩阵L diag l1 l2 ln 相似 因A有n个线性无关的特征向量 设的所有不同的特征值为 则 注 就是的重根数 称之为的 代数 重数 就是对应的最大无关特征向量的个数 称之为的几何重数 该定理说明 任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个 至多不会超过它的重数 如果是单重特征值 它有一个且仅有一个无关的特征向量 定理5 2 2 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数 即设 互不同 此时 则A可对角化的充要条件是 亦即 的重数恰好等于它对应的最大无关特征 向量的个数 简称 几重特征值有几个特征向量 判断下列矩阵是否相似于对角阵 若相似求可逆矩阵 使P 1AP L 解 1 矩阵A的特征方程为 E A 矩阵A的特征值为l1 l2 2 l3 4 对于特征值l3 4 解线性方程组 4E A X o 对于特征值l1 l2 2 解线性方程组 2E A X o l 2 2 l 4 0 例 由于 有 个线性无关的特征向量X1 X X 所以 相似于对角阵 所求的可逆矩阵P为 P X1 X X 对角阵为 满足P 1AP L 矩阵A的特征值为l1 l2 2 l3 4 对于特征值l3 4 解线性方程组 4E A X 0 对于特征值l1 l2 2 解线性方程组 2E A X o 110 101 问 若取P X2 X3 X1 问L 注 例 判断下列矩阵是否下列矩阵是否相似于对角阵 若相似求可逆矩阵 使P 1AP L 解 2 矩阵B的特征方程为 E B l 2 l 1 2 0 矩阵A的特征值为 l1 l2 1 l3 2 对于特征值l1 l2 1 解线性方程组 E B X o 对于特征值l3 2 解线性方程组 2E B X o B不能对角化 判断n阶方阵A能否对角化以及对角化的具体步骤为 的基础解系 Xi1 Xi2 Xiki 3 当L n时 A不能对角化 当L n时 A可以对角化 4 构造可逆矩阵P X1 Xn 则 2 对每个特征值求 1 求A的所不同特征值l1 ls 解 由 和 相似得 tr A tr B A B l1 l2 2 l3 6 对于特征值l1 l2 解线性方程组 E A X o 对于特征值l3 6 解线性方程组 6E A x o 由于 和 相似 且 是一个对角阵 可得 的特征值是 所以 例5若 相似于对角阵L 则存在可逆阵 使 则A PLP 1A PLP 1 PLP 1 PL P 1 A A A PL P 1 PLP 1 PL P 1 Am PLmP 1 证明 因为 相似于对角阵L 故存在可逆阵 使 P 1AP L 一般的 Am PLmP 1 解 由 a1 a1 a a a3可得 l 1 l 0 l 1是 的特征值 a1 a a 是 对应于上述特征值的特征向量 容易验证a1 a a 是 阶方阵 的 个线性无关的特征向量 所以 相似于对角阵 diag 1 0 1 取 a1 a a 则有P 1AP L 所以A PLP 1 A5 PL5P PLP 1 A 例6 设 阶方阵 满足 求 和A5 其中 例7 能否对角化 只需检查二重根对应的特