高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法课件 新人教A版必修5.ppt

3 2一元二次不等式及其解法 通过本节的学习 掌握一元二次不等式的解法 理解一元二次不等式 一元二次方程与二次函数之间的关系 能利用一元二次不等式解决简单的实际问题 课前自主学习 1 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的整式不等式 称为 不等式 答案 一元二次 自学导引 答案 没有实数根 x xx2 1 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 具备哪些条件时 解集为r或 答案 当a 0 0是关于 x 的二次不等式吗 答案 ax2 5x 1 0不一定是一元二次不等式 当a 0时它是一元一次不等式 若题目中给出的条件是 一元二次不等式ax2 5x 1 0 则隐含的条件是a 0 自主探究 1 不等式 x2 x 2 0的解集是 a x x 2 或x 1 b x 2 x 1 c x 2 x 1 d 解析 原不等式可化为 x 2 x 1 0 2 x 1 答案 c 预习测评 2 下面四个不等式解集为r的是 解析 利用 判断 在不等式x2 6x 10 0中 62 40 0 不等式x2 6x 10 0的解集为r 选c 答案 c 3 不等式x2 px q 0的解集为 x 3 x 2 则p q 解析 依题意 x1 3和x2 2是方程x2 px q 0的根 x1 x2 p 即p 1 x1x2 q 6 p q 5 答案 5 4 一元二次不等式ax2 bx c 0的解集是全体实数的条件是 解析 利用三个 二次 关系及二次函数图象推导 课堂讲练互动 1 一元二次不等式通过同解变形 一元二次不等式可化为 ax2 bx c 0或ax2 bx c0 不妨设方程ax2 bx c 0的两根为x1 x2且x1 x2 要点阐释 从函数观点来看 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 在x轴上方部分的点的横坐标x的集合 ax2 bx c0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 在x轴下方部分的点的横坐标x的集合 2 解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程序由一元二次方程 一元二次不等式及二次函数的关系 可以得到解一元二次不等式的一般思考步骤 1 化不等式为标准形式 ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c0 2 求方程ax2 bx c 0 a 0 的根 并画出对应函数y ax2 bx c图象的简图 3 由图象得出不等式的解集 3 含参数的一元二次型的不等式在解关于含参数的一元二次型的不等式时 往往要对参数进行分类讨论 为了做到分类 不重不漏 讨论需从如下三个方面进行考虑 1 关于不等式类型的讨论 二次项系数a 0 a0 一根 0 无根 x2 x1 x2 x1 x2 题型一求一元二次不等式的解集 例1 求下列一元二次不等式的解集 1 x2 5x 14 2 x2 7x 6 解 1 先将14移到左边化为x2 5x 14 0 因为方程x2 5x 14 0的两根分别为 2 7 结合二次函数图象易得不等式解集为 x x7 典例剖析 2 先将不等式化为x2 7x 6 0 因为方程x2 7x 6 0的两根为1 6 所以利用图象可得不等式解集为 x 1 x 6 方法点评 当所给不等式是非标准形式时 应先化为标准形式 在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中 要根据一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象求解 这种方法体现了 化归 的数学思想方法的运用 要注意体会 解 1 原不等式可化为2x2 x 1 0 2x 1 x 1 0 2 因为 2 2 4 3 8 0 故原不等式的解集是r 1 解下列不等式 1 x 3 x x x 2 1 2 x2 2x 3 0 题型二含参数的一元二次不等式的解法 例2 设m r 解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0 解 当m 0时 3 0恒成立 原不等式的解集为r 当m 0时 原不等式化为 mx 3 mx 1 0 方法点评 解不等式时 由于m r 因此不能完全按一元二次不等式的解法求解 因为当m 0时 原不等式化为 3 0 此时不等式的解集为r 所以解题时应分m 0与m 0种情况来讨论 2 解关于x的不等式ax2 2a 1 x 22 2 当a 0时 原不等式化为 ax 1 x 2 0 题型三三个二次的关系 方法点评 一元二次不等式ax2 bx c 0 ax2 bx c 0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解 3 若不等式ax2 bx c 0的解集为 x 0的解集为 x x 0 a 0 根据一元二次方程的根与系数的关系 得 误区解密忽略二次项系数为零而出错 例4 若不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0的解集为r 求实数a的取值范围 错解 不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0的解集为r 错因分析 当a 2 0时 原不等式不是一元二次不等式 不能应用根的判别式 应当单独检验不等式是否成立 解一元二次不等式主要采用图象法和代数法 解决问题的基础是不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集与对