第9讲 等差数列和等比数列.doc

1 第第 9 讲讲 等差数列和等比数列等差数列和等比数列 一 本讲目标 一 本讲目标 1 根据定义判断一个数列是否为等差数列或等比数列 2 熟练应用 等差数列和等比数列的通项公式 求和公式及基本性质计算相关数值 3 分析解决等差等 比数列的综合问题 二 知识要点 二 知识要点 1 等差数列中 n a 1 判定数列是否是等差数列的主要方法有 定义法 中项法 2 等差数列公差的取值与等差数列的单调性 3 1 1 n aand m anm d pqmn pqmnaaaa 4 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 2 1 22 n dd Snan 5 成等差数列 232mmmmm SSSSS 6 首正 的递减等差数列中 前项和的最大值是所有非负项之和 n 首负 的递增等差数列中 前项和的最小值是所有非正项之和 n 2 等比数列中 n a 1 判定数列是否是等比数列的方法主要有 定义法 中项法 2 等比数列的符号特征 全正或全负或一正一负 等比数列的首项 公比与等比数列的 单调性 3 1 1 n n aa q n m m a q pqmn pqmnbbbb 4 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1111 n nn n naqnaq Saa aa qaq qqq qqqq 5 成等比数列 232mmmmm SSSSS 6 并非任何两数总有等比中项 仅当实数同号时 实数存在等比中项 对同号两 a b a b 实数的等比中项不仅存在 而且有一对 也就是说 两实数要么没有等比中项 a bGab 非同号时 如果有 必有一对 同号时 在遇到三数或四数成等差数列时 常优先考虑选 用 中项关系 转化求解 3 等差数列与等比数列的联系 1 如果数列成等差数列 那么数列 总有意义 必成等比数列 n a n a A n a A 2 如果数列成等比数列 那么数列必成等差数列 n a log 0 1 an aaa 3 如果数列既成等差数列又成等比数列 那么数列是非零常数数列 但数列 n a n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 n a 三 例题选讲三 例题选讲 例 1 2000 年全国高中数学联赛 给定正数 p q a b c 其中 p q 若 p a q 是等比数列 p b c q 是等差数列 则一元二次方程 02 2 caxbx A 无实根 B 有两个相等实根 C 有两个同号相异实根 D 有两个异号实根 2 例 2 在等比数列 an 中 公比 且 0 Nnan 1 0 q a3与 a5的等比中项为 2 252 825351 aaaaaa 1 求数列 an 的通项公式 2 设 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 当最大时 求 n nn ab 2 log n SSS n 21 21 的值 例 3 设等比数列的公比为 前 n 项和 n aq 2 1 0 nSn 求的取值范围 q 设 记的前 n 项和为 试比较与的大小 12 2 3 nnn aab n b n T n S n T 3 例 4 已知数列和满足 n a n b 1 a 其中为实数 为正整数 1 2 4 1 321 3 n nnnn aanban n 对任意实数 证明数列不是等比数列 n a 试判断数列是否为等比数列 并证明你的结论 n b 例 5 设 n a是公差不为零的等差数列 n S为其前n项和 满足 2222 23457 7aaaaS 1 求数列 n a的通项公式及前n项和 n S 2 试求所有的正整数m 使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项 4 例 6 已知数列为等差数列 公差 中的部分项组成数列 n a0 d n a 恰为等比数列 其中 求的 21n kkk aaa17 5 1 321 kkk n kkk 21 值 例 7 1 设是各项均不为零的等差数列 且公差 若将 n aaa 21 4 n0 d 此数列删去某一项得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 当时 求的数值 求 的所有可能值 4 n d a1 n 2 求证 对于一个给定的正整数 存在一个各项及公差都不为零的等差数 4 nn 列 其中任意三项 按原来顺序 都不能组成等比数列 n bbb 21 5 例 8 设 关于的方程的 4 个实根构成以Rba x0 1 1 22 bxxaxx 为公比的等比数列 若 求的取值范围 q 2 3 1 qab 例 9 设和分别是等差数列和等比数列 且 试比 n a n b0 0 2211 baba 较和的大小 n a n b 6 例 10 n2 n 4 个正数排成 n 行 n 列 a11 a12 a13 a14 a1n a21 a22 a23 a24 a2n a31 a32 a33 a34 a3n a41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann 其中每一行的数成等差数列 每一列的数成等比数列 并且所有公比相等 已知 a24 1 a42 a43 求 a11 a22 a33 ann 1990 年全国高中数学联赛试题 8 1 16 3 四 巩固练习 四 巩固练习 1 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比中项 8 32S 则 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 2 已知为等差数列 则等于 A 1 B 1 C 3 D 7 3 已知等比数列 n a 满足 0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa 7 A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数 那 么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列是等和数列 且 an 公和为 5 那么的值为 这个数列的前 n 项和的计算公式为 a12 a18Sn 5 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 6 2000 年全国高中数学联赛 等比数列 的公比是3log2 a3log4 a3log8 a 已知 b c logm x c a logm y a b logm z 0 1 若 a b c 依次成等差数列 且公差不为 0 求证 x y z 成等比数列 2 若 x y z 依次成等比数列 且公比不为 1 求证 a b c 成等差数列 数列 n b Nn 是递增的等比数列 且 4 5 3131 bbbb 求数列 n b 的通项公式 若 3log2 nn ba 求