如何求数列的极限.doc

如何求数列的极限作者：陕西洋县中学 刘大鸣 梁杰数列极限定性地刻画了项数趋向无穷大时，项的变化规律，起决定因素的是数列通项公式.常依据数列数列的通项，适当地变形，利用数列极限的定义、结论和运算法则求解.1 “抓通项”，利用数列极限的定义求解.数列的通项揭示了数列的项和项数之间的函数关系，而数列极限揭示的是数列的项随自变量项数趋向无穷大时的变化规律，为此，求数列的极限首先思考数列极限的定义，运动变化、函数观念研究初等函数值域随自变量的变化规律，当函数值域无限趋近唯一的一个常数时，这个常数就称为数列的极限；当函数值域无限增大或趋近的常数不唯一，这个数列的极限就不存在.利用数列极限定义，研究函数值域随自变量的变化趋势，可证的几个基本极限结论为， 2 “抓通项，恒等变形”，化归用基本数列极限结论求解通项为分式类的数列的极限，先对通项变形使分子和分母的极限都存在，然后求极限，其值为0、系数比或不存在，常以“极限已知待定参数”考查逆向思维的问题；对通项含根式的分式类数列的极限，为使“分子和分母的极限都存在”，常常“分子或分母有理化”化归基本数列的极限结论求解.例1 ; 简析： 用数列运算法则，分子和分母的极限均不存在，对通项变形，利用结论的条件构建不等式解范围.依题意有， 用数列运算法则，分子和分母的极限均不存在，对通项变形化为基本数列极限研究待定系数.依题意有，例2 简析： 用运算法则，分母极限无法确定，分母有理化用运算法则，极限无法确定，分子有理化 3 利用“有限项的和取极限与各项和之间的关系”求解数列的极限与数列的和密切相关，无穷递缩等比数列的各项和，总可以化为有限项和取极限，“无限和化为有限项的和的极限，有限和的极限转化为各项和用公式”的相互转化是解决数列问题的一种“进化”.例3 (94高考)设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对一切自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项， 求数列an的通项公式； 简析： 先猜后证.易求，a1=2,a2=6,a3=10,猜an=4n-2.用数学归纳法证明. 当n=1时，显然成立； 假设n=k时成立，即 ak=4k-2.由题设有，而一般数列的切入点为 ak+1=Sk+1-Sk=,将假设ak=4k-2代入整理有，解方程有，这就是说，当时猜想也成立.由和 猜想成立.即an=4n-2.也可用“为an的二次函数，则an为等差数列”探究解题思路.由一般数列的切入点ak+1=Sk+1-Sk=，注意题设化简整理有，易求an=4n-2. 由和的特征构建通项化简，先求和再取极限 简析：数列极限与不等式简单综合，利用有限项和与无限项和的关系，构建不等式解范围.依题意， 例5（03高考）在边长为L的等边三角形ABC中，圆O1为三角形ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切且与AB、BC相切，圆On+1圆On外切，且与AB、BC相切，如此继续下去，记圆On的面积为an,求.简析：探求相邻两个圆的半径满足的递推关系，将有限项和的极限化为无穷递缩各项和求解.设rn为圆On半径，易有，4 极限运算法则中的“线性表示”和“先求和再取极限”例6 简析：若分别求极限其值为0.而先求和再取极限，追其原因将极限的运算法则适应于有限个数列的和、差、乘、的数列的极限的运算法则照搬到无限数列中去，超出了法则的使用范围,应“先求和再取极限”. 例7简析:先求出的极限,再求值,已经犯错误”和差的极限存在,各自的极限也存在”;应用已知的极限线性表示所求的极限,5 构建数列极限的模型解决实际应用问题.例8 某市电话费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟电话费为0.22元，超过3分钟，每分钟0.11元计费，与调整前相比，一次通话提价的百分比（ ）.A 不会高于 ; B.会高于而不会高于 ; C.不会低于. D.高于而低于1.简析 ：构建数列极限模型，用数列极限思想求解.考察通话3分钟的收费，原价0.18元，现价0.22元，提价少于0.3,排除D. 用极限思想，通话3n分钟，原价0.18n元，现价（0.33n-0.11）元，若注意到而, 故选B.例9当n为自然数时，求所有函数y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1的图象在x轴上所截的线段的长度的总和S.简析 ：构建数列极限的模型，将所有线段的长度和化为前n项和的极限求解.易知,函数在x轴上的交点横坐标分别为1/n,1/n+1,则 例10(02高考) 某城市2001年汽车保有量为30万辆，预计次后每年报废上一年汽车保有量的0.06,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆.简析: 构建线性递推关系，利用数列极限的概念求解.设2001年末汽车保有量为b1,以后各年末的汽车保有量分别为b2,b3,bn,每年新增汽车数量x万辆，则b1=30,b2=0.94b1+x,bn+1=0.94bn+x=0.942bn-1+(1+0.94)x=,所以，bn+1=0.94nb1+x(1+0.94+0.942+0.94n-1)=0.94nb1+(1-0.94n)x/0.06=x/0.06+(30-x/0.06) 0.94n,依题设bn60(n=1,2,3, ,), 就是 300.94n-1+ 60恒成立，解这个关于x的不等式得，x1.8(1+),设f(n)= 1.8(1+),则f