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1 第十一章第十一章 静电场静电场 例题精选 例例 11 1 如图所示 在坐标 a 0 处放置一点电荷 q 在坐标 a 0 处放置另一点电荷 q P 点是 x 轴上的一点 坐标为 x 0 当 x a 时 该点场强的大小为 A B C D B x q 0 4 3 0 x qa 3 0 2x qa 2 0 4x q 例例 11 2 半径为 R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距球心的距离 r 的关系曲 线为 B 例例 11 3 半径为 R 的 无限长 均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距轴线的距 离 r 的关系曲线为 B 例例 11 4 一半径为 R 的带有一缺口的细圆环 缺口长度为 d d R k 为一正的常量 用高斯定理求场强与 r 的函数关系 解 在球内取半径为 r 厚为 dr 的薄球壳 该壳内所包含的电荷为 rrkrVqd4dd 2 在半径为 r 的球面内包含的总电荷为 r R 4 0 3 d4krrkrdVq r V 以该球面为高斯面 按高斯定理有 0 42 1 4 krrE 得到 r R 方向沿径向向外 0 2 1 4 krE 在球体外作一半径为 r 的同心高斯球面 按高斯定理有 0 42 2 4 kRrE 得到 r R 方向沿径向向外 2 0 4 2 4 rkRE 例例 11 9 关于高斯定理的理解有下面几种说法 其中正确的是 A 如果高斯面上处处为零 则该面内必无电荷 E B 如果高斯面内无电荷 则高斯面上处处为零 E C 如果高斯面上处处不为零 则高斯面内必有电荷 E D 如果高斯面内有净电荷 则通过高斯面的电场强度通量必不为零 D 例例 11 10 一半径为 R 的均匀带电球面 带有电荷 Q 若规定该球面上的电势值为零 则无限远处的 电势将等于 A B 0 C D C R Q 0 4 R Q 0 4 例例 11 11 已知某电场的电场线分布情况如图所示 现观察到一负电荷从 M 点移 到 N 点 有人根据这个图作出下列结论 其中正确的是 A 电场强度 EM EN B 电势 UM UN C 电势能 WM WN D 电场力的功 A 0 C 例例 11 12 一点电荷 q 10 9 C A B C 三点分别距离该点电荷 10 cm 20 cm 30 cm 若选 B 点 q M N A B C q 3 的电势为零 则 A 点的电势为 C 点的电势为 真空介电常量 0 8 85 10 12 C2 N 1 m 2 45 V 15 V 例例 11 13 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为 R 的导体球带电 1 当球上已带有电荷 q 时 再将一个电荷元 dq 从无限远处移到球上的过程中 外力作多少功 2 使球上电荷从零 开始增加到 Q 的过程中 外力共作多少功 解 1 令无限远处电势为零 则带电荷为 q 的导体球 其电势为 R q U 0 4 将 dq 从无限远处搬到球上过程中 外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电势能 q R q WAd 4 dd 0 2 带电球体的电荷从零增加到 Q 的过程中 外力作功为 Q R qq AA 00 4 d d R Q 0 2 8 例例 11 14 如图所示 电荷均是 Q 的两个点电荷相距为 l 联线中点 为 O 有一点电荷 q 在联线中垂线上距 O 为 x 的 c 点 若电荷 q 从静止开始运动 它将如何运动 定性指出 q 的位置与速度 变化情况 已知 Q 与 q 异号 忽略重力 阻力不计 答 在 c 点 由于 q 受力沿中垂线向下 且初速为零 所以 q 沿力的方向向下作加速运动 当 q 运 动到 O 点时 受力为零 但由于速度不为零 故 q 通过 O 点继续向下运动 过 O 点后 力的方向与 运动方向相反 q 的速度愈来愈小 到 x 处速度为零 在力的作用下又向上运动 过 O 点又作减速 运动 至 c 点速度又变为零 然后再向下运动 如此反复 形成以 O 为中心沿中垂线的周期性 振动 QQ O q c x 4 练习题 11 1 如图所示 真空中一长为 L 的均匀带电细直杆 总电 荷为 q 试证明在直杆延长线上距杆的一端距离为 d 的 P 点的电场强度大小为 dLd q 0 4 E 证明 设杆的左端为坐标原点 O x 轴沿直杆方向 带电直杆的电荷线密度为 q L 在 x 处取一电荷元 dq dx qdx L 2 分 它在 P 点的场强 2 0 4 d d xdL q E 2 0 4 d xdLL xq 总场强为 L xdL x L q E 0 2 0 d 4 dLd q 0 4 11 2 如图所示 真空中两个正点电荷 Q 相距 2R 若以其中一点 电荷所在处 O 点为中心 以 R 为半径作高斯球面 S 则通过该 球面的电场强度通量 若以表示高斯面外法线方向 0 r 的单位矢量 则高斯面上 a 点的电场强度分别为 Q 0 0 11 3 三个平行的 无限大 均匀带电平面 其电荷面密度都是 如图所 示 则 B D 两个区域的电场强度分别为 EB ED 设方向向右为正 2 0 3 2 0 11 4 在边长为 a 的正方体中心处放置一点电荷 Q 设无穷远处为电势零点 则在正方体顶角处的 电势为 A B C D B a Q 0 34 a Q 0 32 a Q 0 6 a Q 0 12 11 5 图中所示为一沿 x 轴放置的长度为 l 的不均匀带电细棒 其电荷线密度为 0 x a 0为一 常量 取无穷远处为电势零点 求坐标原点 O 处的电势 解 在任意位置 x 处取长度元 dx 其上带有电荷 dq 0 x a dx L d q P L d dq x L d x dE x O O Q R S Q b a 2R A B C D O a l x 5 它在 O 点产生的电势 x xax U 0 0 4 d d O 点总电势 la a la a x x axdUU d d 4 0 0 a la alln 4 0 0 11 6 一半径 R 的均匀带电圆盘 电荷面密度为 设无穷远处为电势零点 计算圆盘中心 O 点电 势 解 在圆盘上取一半径为 r r dr 范围的同心圆环 其面积为 dS 2 rdr 其上电荷为 dq 2 rdr 它在 O 点产生的电势为 00 2 d 4 d d r r q U 总电势 0 0 0 2 d 2 d R rUU R S 11 7 在盖革计数器中有一直径为 2 00 cm 的金属圆筒 在圆筒轴线上有一条直径为 0 134 mm 的导 线 如果在导线与圆筒之间加上 850 V 的电压 试分别求 1 导线表面处 2 金属圆筒内表 面处的电场强度的大小 解 设导线上的电荷线密度为 与导线同轴作单位长度的 半径为 r 的 导线半径 R1 r 圆筒 半径 R2 高斯圆柱面 则按高斯定理有 2 rE 0 得到 E 2 0r R1 r R2 方向沿半径指向圆筒 导线与圆筒之间的电势差 2 1 2 1 d 2 d 0 12 R R R R r r rEU 1 2 0 ln 2R R 则 代入数值 则 12 12 lnRRr U E 1 导线表面处 2 54 106 V m 121 12 1 lnRRR U E 2 圆筒内表面处 1 70 104 V m 122 12 2 lnRRR U E 11 8 在强度的大小为 E 方向竖直向上的匀强电场中 有一半径为 R 的 半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上 如图 槽的质量为 M 一质量 m 带有电荷 q 的小球从槽的顶点 A 处由静止释放 如果忽略空气阻 力且质点受到的重力大于其所受电场力 求 1 小球由顶点 A 滑至 半球最低点 时相对地面的速度 2 小球通过 B 点时 槽相对地面 的速度 解 设小球滑到 B 点时相对地的速度为 v 槽相对地的速度为 V 小球从 A B 过程中球 槽组 成的系统水平方向动量守恒 mv MV 0 O dr R M A m q C B E E 6 对该系统 由动能定理 mgR EqR mv2 MV2 2 1 2 1 两式联立解出 方向水平向右 mMm qEmgMR 2 v 方向水平向左 mMM qEmgmR M m V 2v 11 9 如图所示 一半径为 R 的均匀带正电圆环 其电荷线密度为 在其轴线上有 A B 两点 它们与环心的距离分别为 一质量为 m 电荷为 q 的粒子从 A 点运ROA3 ROB8 动到 B 点 求在此过程中电场力所作的功 解 设无穷远处为电势零点 则 A B 两点电势分别为 0 22 0 4 32 RR R UA 0 22 0 6 82 RR R UB q 由 A 点运动到 B 点电场力作功 000 1264 q qUUqA BA 注 也可以先求轴线上一点场强 用场强线积分计算 11 10 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r1 10 cm 和 r2 20 cm 的两个同心球面上 设无限远处 电势为零 球心处的电势为 U0 300 V 1 求电荷面密度 2 要使球心处的电势也为零 外球面上应放掉多少电荷 0 8 85 10 12 C2 N m2 解 1 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加 即 2 2 1 1 0 0 4 1 r q r q U 2 2 2 1 2 1 0 44 4 1 r r r r 21 0 rr 8 85 10 9 C m2 21 00 rr U 2 设外球面上放电后电荷面密度为 则应有 0 21 0 0 1 rrU 即 2 1 r r 外球面上应变成带负电 共应放掉电荷 2 1 2 2 2 2 144 r r rrq 6 67 10 9 C 200212 44rUrrr 补充题 O A R R3 R8 B 7 11 11 根据高斯定理的数学表达式可知下述各种说法中 正确的是 S qSE 0 d A 闭合面内的电荷代数和为零时 闭合面上各点场强一定为零 B 闭合面内的电荷代数和不为零时 闭合面上各点场强一定处处不为零 C 闭合面内的电荷代数和为零时 闭合面上各点场强不一定处处为零 D 闭合面上各点场强均为零时 闭合面内一定处处无电荷 C 11 12 质量为 m 电荷为 q 的粒子沿一圆轨道绕电荷为 Q 的固定粒子运动 证明运动中两者间的 距离的立方与运动周期的平方成正比 证明 由设半径为 r 周期为 T 则有 r m r4 qQ 2 2 0 v 因为 v r r 2 T 所以 qQ 4 0r2 mr 4 2 T2 即得 r3 Q qT2 16 3 0m 11 13 关于静电场中某点电势值的正负 下列说法中正确的是 A 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 B 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 C 电势值的正负取决于电势零点的选取 D 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负 C 11 14 在静电场的空间作一闭合曲面 如果在该闭合面上场强 处处为零 能否说此闭合面内一定 没有电荷 举例说明 答 不一定 闭合面上场强 E 处处为零 则穿过此闭合面的电场强度通量 0 由高斯定理知 闭合面内的电荷代数和为零 这可能有两种情况 一是 闭合面内确无电荷 另一是闭合面内有电荷 但正电荷与负电荷之代数和 为零 因此 只能说在闭合面内没有净电荷 例如 图中所示的两个半径不相等的均匀带电的同心球面 内球面上有正电荷 外球面上 带等量的负电荷的情况 在它们的外面作一任意形状的闭合面 闭合面上场强 E 处处为零 但 面内并非没有电荷 11 15 边长为 b 的立方盒子的六个面 分别平行于 xOy yOz 和 xOz 平面 盒子的一角在坐标原点处 在此区域有一静电场 场强为 试求穿过各面的电通量 jiE 300200 解 由题意知 Ex 200 N C Ey 300 N C Ez 0 平行于 xOy 平面的两个面的电场强度通量 0 1 SESE ze O x z y b b b 8 平行于 yOz 平面的两个面的电场强度通量 b2N m2 C 200 2 SESE xe 分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量 平行于 xOz 平面的两个面的电场强度通量 b2 N m2 C300 3 SESE ye 分别对应于上和下平面的电场强度通量 11 16 真空中一半径为 R 的均匀带电球面带有电荷 Q Q 0 今在球面上挖 去非常小块的面积 S 连同电荷 如图所示 假设不影响其他处原来的电 荷分布 则挖去 S 后球心处电场强度的大小 E 其方向为 由圆心 O 点指向 S 4 0 2 16 RSQ 11 17 如图 在点电荷 q 的电场中 选取以 q 为中心 R 为半径的球面 上一点 P 处作电势零点 则与点电荷 q 距离为 r 的 P 点的电势为 A B C D B r q 0 4 Rr q11 4 0 Rr q 0 4 rR q11 4 0 11 18 图示为一个均匀带电的球层 其电荷体密度为 球层内表面 半径为 R1 外表面半径为 R2 设无穷远处为电势零点 求空腔内任 一点的电势 解 由高斯定理知空腔内 E 0 故带电