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第六章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似理论是指导分析和实验的理论基础，是解决复杂的工程问题和发展流体力学理论的有力工具。6.1 单位与量纲一.量纲、基本量纲和导出量纲：1. 量纲与单位：度量同类物理量大小的标准称为单位。 物理量单位的种类称为量纲（或因次）。2. 基本量纲：具有独立性的量纲称为基本量纲。 3. 导出量纲：除基本量纲之外的其它物理量的量纲均可由基本量纲组合表示，称为导出量纲。物理量的性质可由量纲指数a、b、c决定：若：a = b = c = 0，则q为无量纲数。若：a = c = 0、b0，则q为几何量。若：a = 0、b0、c0，则q为运动学量。若：a0 、b0、 c0，则q为动力学量。一般的流体力学问题只涉及四个基本量纲：长度L、质量M、时间T和温度。 参见书P155156表61，表中所列为常见的流体力学物理量的量纲。 二. 无量纲数：有一些物理量是无量纲的。若几个物理量组合而成的综合参数无量纲，则称为无量纲综合参数。 1.无量纲数的组成：2.无量纲数的特征：1）客观性：凡是真正客观地描述运动规律的方程式都可以写成由无量纲项所组成的方程。2）不受运动规模的影响。3）可进行超越函数的运算。事实上，对物理量进行指数、对数等的运算必须事先将其无量纲化之后才能进行。三. 量纲和谐原理：一个正确、完整反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲和谐原理。6.2 量纲分析与定理利用量纲和谐原理来探求物理量之间的函数关系，这种分析方法称为量纲分析法。一.瑞利（Rayleigh）法：由量纲和谐的原理知：显然：若只有三个待定指数a、b、c，则由上面三个方程可唯一确定它们的值；若(n-1)3，则尚有(n-1)-3个待定指数不能确定。二.布金汉（Buckingham）法： 其中只有m个变量在量纲上是独立的，其余(n-m)个变量是非独立的。此物理方程必然可以表示为(n-m)个无量纲数的物理方程式。 1).所取的m个量纲独立的物理量，它们不能组合成一个无量纲数。 2).实用中常分别选一个几何学的量（如管径、水头等），一个运动学的量（如速度、加速度等）和一个动力学的量（如密度、动力粘度等）作为独立变量 。 可以从所选用的独立变量之外的其余变量中，每次轮取一个，与所选用的独立变量一起组合而成。 例1：实验观察与理论分析指出：水平、等直径恒定有压管流的压强损失与管长，直径，管壁的粗糙度，运动粘滞系数，密度，流速等因素有关。解：显然，函数关系式为： . ： . 同. ： . 同. ：. 同. ： 最后，应注意：量纲不和谐的公式（一般指理论公式）肯定是错误的，但量纲和谐的公式并不都是正确的。 6.3 流动相似原理一.相似性的概念：若原型（P）和模型（M）两个流动对应的线段长度成比例，对应角相等，对应的边界性质相同，则两个流动几何相似。若原型（P）和模型（M）两个流动各相应点的速度方向相同，大小成比例，则两个流动运动相似。若原型（P）和模型（M）两个流动各相应点所受的各同名力作用方向相同，大小成比例，则两个流动动力相似。两个流动同时满足以上三个层次的相似性条件时，可以说它们是相似的。几何相似并不能保证动力相似。 例如：用同一翼型模型在不同粘度的流体中测量升力和阻力，由于升力与流体粘度无关，阻力与粘度相关，所以在两个流场中测出的升力相等而阻力却不等。 只有满足了几何相似，运动相似和动力相似才有可能。 总之：两个流动相似必须同时保证几何相似、运动相似和动力相似。若为非定常流动，还应满足初始条件相似。二.动力相似准则：1.牛顿相似准则： 故：要两个流动动力相似，必须两个流动相应处的牛顿数相等。这一判据称为牛顿相似准则。2.雷诺相似准则：故：作用在流体上的外力主要有粘滞力时，要两个流动相似，必须两个流动相应处的雷诺数相等。这一判据称为粘滞力相似准则（亦称雷诺相似准则）。3.弗劳德相似准则：故：作用在流体上的外力主要有重力时，要两个流动相似，必须两个流动相应处的弗劳德数相等。这一判据称为重力相似准则（亦称弗劳德相似准则）。4.欧拉相似准则：故：作用在流体上的外力主要有动压力时，要两个流动相似，必须两个流动相应处的欧拉数相等。这一判据称为压力相似准则（亦称欧拉相似准则）。5.弹性力相似准则：故：作用在流体上的外力主要有弹性力时，要两个流动相似，必须两个流动相应处的柯西数相等。这一判据称为弹性力相似准则（亦称柯西相似准则）。 相应的判据又称为马赫相似准则。6.斯特劳哈（尔）相似准则：对于非定常流动，还存在局部加速度引起的局部惯性力。 故：作用在流体上的外力主要有局部惯性力时，要两个流动相似，必须两个流动相应处的斯特劳哈尔数相等。这一判据称为局部惯性力相似准则（亦称斯特劳哈尔相似准则）。注意：以上各相似准则应用于两个流动时，若都成立，则两流动完全相似；若其中一、两个成立，则流动基本相似。相似准则成立的越多，则两个流动相似的程度越大。例2：为了确定在深水中航行的潜艇所受的阻力，用缩尺1/20的模型在水洞中做实验。设潜艇速度 Vp = 2.572 m/s ，海水密度 rp= 1010 kg/m3，运动粘度系数 np = 1.310-6 m2/s，实验用水密度 rM = 988 kg/m3，运动粘度系数 nM = 0.55610-6 m2/s。 试确定模型实验的拖拽速度 VM 及潜艇与模型的阻力比 Fp/FM。 解： 这是定常流动问题，并且与质量力无关，不需要考虑 Sr 和 Fr。 设潜艇特征长度为 Lp，对于潜艇周围的流场可以定义雷诺数： 令: ReP=ReM 可得：VM = 22.0 m/s 可见潜艇和模型的速度比、阻力比都不等于它们的缩尺比例。 例3：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10（原型中油的运动粘滞系数np= 0.13cm2/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？ 解：（1）查书P7表1-1 nM= 0.0131cm2/s。因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等：由于dp= dM ，故上式可写成： 将已知条件np= 0.