高中数学第八章直线与平面垂直（第1课时）直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定学案新人教A版.docx

第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定考点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理 问题导学预习教材P146P150的内容，思考以下问题：1异面直线所成的角的定义是什么？2异面直线所成的角的范围是什么？3异面直线垂直的定理是什么？4直线与平面垂直的定义是什么？5直线与平面垂直的判定定理是什么？1异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直直线a与直线b垂直，记作ab(3)范围：设为异面直线a与b所成的角，则090.名师点拨 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0.所以空间两条直线所成角的取值范围是090.注意与异面直线所成的角的范围的区别 2直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨 (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线” 3直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言la，lb，a，b，abPl名师点拨 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)异面直线a，b所成角的范围为0，90()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直()答案：(1)(2)(3) 直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()A平行垂直C在平面内 无法确定答案：D 已知直线a直线b，b平面，则()Aa aCa a是的斜线答案：C 在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为_解析：连接AB1，B1C，因为ACA1C1，所以B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角又因为AB1B1C，O为AC的中点，所以B1OAC，故B1OC90，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90.答案：90异面直线所成的角如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角【解】(1)如图，因为CGBF.所以EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在BEF中，EBF45，所以BE与CG所成的角为45.(2)连接FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，又HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形所以HFBD，所以HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角连接HA，AF，易得FHHAAF，所以AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以HFO30，即FO与BD所成的角为30.1变条件在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OPAF，又CDAB，所以BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于ABF是等腰直角三角形，所以BAF45，故OP与CD所成的角为45.2变条件在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2，求AM和BN所成的角解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFCG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BMNG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BNMG，所以AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AMMG，所以AGMMAG39.2，所以AMG101.6，所以AM和BN所成的角为78.4. 求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求提醒求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角的范围是090. 如图所示，在三棱锥ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，所以EGCD，GFAB，且EGCD，GFAB.所以GFE(或其补角)就是异面直线EF与AB所成的角，EGGF.因为ABCD，所以EGGF.所以EGF90.所以EFG为等腰直角三角形所以GFE45，即EF与AB所成的角为45.直线与平面垂直的定义(1)直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行相交C异面 垂直(2)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm【解析】(1)因为直线l平面，所以l与相交又因为m，所以l与m相交或异面由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行(2)对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l，则l垂直于内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面【答案】(1)A(2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直(2)由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab. 下列命题中，正确的序号是_若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；若平面内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面不垂直解析：当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确根据线面垂直的定义，若l，则l与内的所有直线都垂直，所以正确答案：直线与平面垂直的判定如图，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，AEPB于点E，AFPC于点F.(1)求证：PC平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AGPD.【证明】(1)因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又ABBC，PAABA，所以BC平面PAB，AE平面PAB，所以AEBC.又AEPB，PBBCB，所以AE平面PBC，PC平面PBC，所以AEPC.又因为PCAF，AEAFA，所以PC平面AEF.(2)由(1)知PC平面AEF，又AG平面AEF，所以PCAG，同理CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，又PCCDC，所以AG平面PCD，PD平面PCD，所以AGPD.1变条件在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BDFH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，因为PAACA，所以BD平面PAC，又FH平面PAC，所以BDFH.2变条件若本例中PAAD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC平面AFG.证明：因为PA平面ABCD，DC平面ABCD，所以DCPA，又因为ABCD是矩形，所以DCAD，又PAADA，所以DC平面PAD，又AG平面PAD，所以AGDC，因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，又DCPDD，所以AG平面PCD，所以PCAG，又因为PCAF，AGAFA，所以PC平面AFG.3变条件本例中的条件“AEPB于点E，AFPC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PAAD”，其他条件不变，求证：EF平面PCD.证明：取PD的中点G，连接AG，FG.因为G，F分别是PD，PC的中点，所以GFCD，又AECD，所以GFAE，所以四边形AEFG是平行四边形，所以AGEF.因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，所以EFPD，易知CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，所以EFCD.因为PDCDD，所以EF平面PCD. (1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面提醒要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面 如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM；(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明：(1)因为AB为O的直径，所以AMBM.又PA平面ABM，所以PABM.又因为PAAMA，所以BM平面PAM.又AN平面PAM，所以BMAN.又ANPM，且BMPMM，所以AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，所以ANPB.又因为AQPB，ANAQA，所以PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，所以NQPB.1若直线a平面，b，则a与b的关系是()Aab，且a与b相交Bab，且a与b不相交CabDa与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面，使得c，则bc.因为直线a平面，c，所以ac.因为bc，所以ab.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1C平面A1DB1C平面A1B1C1D1 平面A1DB解析：选B.因为AD1A1D，AD1A1B1，且A1DA1B1A1，所以AD1平面A1DB1.3空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A相交且垂直 不相交也不垂直C相交不垂直 不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面，从而四点A，B，C，D都在内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为ABADDCBC，所以AOBD，OCBD，从而可知BD平面AOC，故ACBD.4已知a，b是一对异面直线，而且a平行于ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若BAC120，则直线a，b所成的角为_解析：由aAB，bAC，BAC120，知异面直线a，b所成的角为BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60.答案：60A基础达标1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且mmn，且nCmn，且n mn，且n解析：选B.A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，B符合题意；C，D中，m或m或m与相交，不符合题意故选B.2已知直线ab，平面，a，则b与的位置关系是()Ab bCb b或b解析：选A.因为a，ab，所以b.又，所以b.3如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证ABMN，ABNQ，即可得直线AB平面MNQ；对于B，易证ABMN，ABNQ，即可得直线AB平面MNQ；对于C，易证ABNQ，ABMQ，即可得直线AB平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直故选D.4.如图，P为ABC所在平面外一点，PB，PCAC，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选B.由PB，AC得PBAC，又ACPC，PCPBP，所以AC平面PBC，ACBC.故选B.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上6.如图，在正方形ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是_解析：连接AD1，则AD1BC1.所以CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACAD1CD1，所以CAD160，即AC与BC1所成的角为60.答案：607如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_解析：(1)因为PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC.所以PCAB，PCAC，PCBC.(2)BCA90即BCAC，又BCPC，ACPCC，所以BC平面PAC，因为AP平面PAC，所以BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面ABCD，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的最小值为_解析：因为PA平面ABCD，所以PAQD.若BC边上存在一点Q，使得QDPQ，PAPQP，则有QD平面PAQ，从而QDAQ.在矩形ABCD中，当ADa2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQDQ.所以当a2时，才存在点Q，使得PQQD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动证明：ADC1E.证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.由得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.10如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值解：取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EFCD，所以BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角在RtABC中，BC，ABAC，所以ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，所以BE.在RtAEF中，AFAC，AE，所以EF.在RtABF中，AB1，AF，所以BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.B能力提升11已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30的直线有且仅有()A1条B2条C3条 D4条解析：选B.过空间一点P，作aa，bb.由a、b两交线确定平面，a与b的夹角为50，则过角的平分线与直线a、b所在的平面垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a、b成30的角，即与a、b成30的角且过点P的直线有两条在a、b相交另一个130的角部分内不存在与a、b成30角的直线故应选B.12(2018高考全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.13如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC边的中点，沿AE将ADE折起，在折起过程中，下列结论正确的有()ED平面ACD；CD平面BED；BD平面ACD；AD平面BED.A1个 B2个C3个 D4个解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC边的中点，所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BECD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故错误；因为ADED，并且在折起过程中，有ADBD，所以存在一个位置使ADBE，所以在折起过程中有AD平面BED，故正确故选A.14如图，在多面体A