4.6反证法

路边苦李 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢 小故事 假设 李子甜 树在道边则李子少 与已知条件 树在道边而多子 产生矛盾 假设 李子甜 不成立 所以 树在道边而多子 此必为苦李 是正确的 王戎的推理方法如下 假设结论不成立 结合条件推出相应的结论 产生矛盾 与已知条件定义 公理 定理 假设不成立 命题正确 推理步骤 反证法 在证明一个命题时 人们有时先假设命题不成立 从这样的假设出发 经过推理得出和已知条件矛盾 或者与定义 基本事实 定理等矛盾 从而得出假设命题不成立 是错误的 即所求证的命题正确 这种证明方法叫做反证法 假设结论不成立 结合条件推出相应的结论 产生矛盾 与已知条件定义 公理 定理 假设不成立 命题正确 推理步骤 4 6反证法 小华睡觉前 地上是干的 早晨起来 看见地上全湿了 小华对婷婷说 昨天晚上下雨了 你能对小华的判断说出理由吗 假设昨天晚上没有下雨 那么地上应是干的 这与早晨地上全湿了相矛盾 所以说昨晚下雨是正确的 1 写出下列各结论的反面 1 a b 2 a 0 3 b是正数 4 a b b不是正数 a 0 a不垂直于b 平行与不平行 小于与不小于 是与不是 垂直与不垂直 b是零或负数 任务一 2 用反证法证明 若a b b c 则a b 时 应假设 a不垂直于cB a b都不垂直于cC a bD a与b相交 4 用反证法证明命题 在一个三角形中 如果两条边不相等 那么它们所对的角也不相等 时 应假设 3 用反证法证明 若 时 应假设 D 它们所对的角相等 例求证 在同一平面内 如果一条直线和两条平行线中的一条相交 那么与另一条也相交 3 有已知的定理与上述结论矛盾吗 c P 分析 首先 你见到一个文字命题需要证明其正确性时 必要的步骤有哪些 已知 如图直线a b c在同一平面内 且a b c与b相交于点P 求证 c与a相交 证明 假设c与a不相交 那么a c 因为已知a b 所以过直线a外一点P有两条直线和a平行 1 假设所求证的结论不成立 那么a和c只能是怎样的位置关系 2 过点P有几条直线和直线a平行 这与 经过直线外一点 有且只有一条直线平行于已知直线 矛盾 所以假设不成立 即所求证的命题正确 任务二 反设 归谬 结论 假设结论不成立 结合条件推出相应的结论 产生矛盾 与已知条件定义 公理 定理 假设不成立 命题正确 反证法的一般步骤 证明 假设所求证的结论不成立 即 60 60 60 则 180 这与 矛盾所以假设 即所求证的结论成立 用反证法证明 填空 在三角形中 至少有一个内角大于或等于60 已知 如图 A B C是 ABC的内角 求证 A B C中至少有一个角大于或等于 三角形三个内角的和等于180 不成立 练一练 1 用反证法证明命题 三角形中最多有一个角是直角或钝角 时 应假设 2 用反证法证明 三角形三个内角中至少有两个锐角 时 应假设 拓展提高 三角形中最少有两个是直角或钝角 三角形中三个内角至多有一个锐角 求证 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 你首先会选择哪一种证明方法 反证法还是直接证法 已知 如图 a b b c 求证 a c 合作学习 任务三 定理 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 判定两直线平行的又一判定定理 几何语言表示 a b c b a c 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 任务三 平行线的传递性 我们收获了 收获与分享 合作学习 求证 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 已知 如图 a b b c 求证 a c a b b c 则过点p就有两条直线a c都与b平行 这与 经过直线外一点 有且只有一条直线平行于已知直线 矛盾 证明 假设a不平行c 则a与c相交 设交点为p p 所以假设不成立 所求证的结论成立 即a c 反证法 返回 合作学习 求证 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 已知 如图 a b b c 求证 a c m p a b b c 直线m必定与直线a c相交 在同一平面内 如果一条直线和两条平行直线中的一条相交 那么和另一条直线也相交 证明 作直线m交直线b于点p 2 1 3 两直线平行 同位角相等 a c 同位角相等 两直线平行 直接证法 返回 小结 1