1.2.2充要条件

第2节命题及其关系 充分条件与必要条件 最新考纲1 理解命题的概念 了解 若p 则q 形式的命题及其逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 2 理解充分条件 必要条件与充要条件的含义 知识梳理 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以 的陈述句叫做命题 其中 的语句叫做真命题 的语句叫做假命题 判断真假 判断为真 判断为假 2 四种命题及其相互关系 1 四种命题间的相互关系 2 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们具有 的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题时 它们的真假性 若q 则p 若綈p 则綈q 若綈q 则綈p 相同 没有关系 3 充分条件 必要条件与充要条件的概念 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 微点提醒 1 否命题与命题的否定 否命题是既否定条件 又否定结论 而命题的否定是只否定命题的结论 2 区别A是B的充分不必要条件 A B且BA 与A的充分不必要条件是B B A且AB 两者的不同 3 A是B的充分不必要条件 綈B是綈A的充分不必要条件 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 x2 2x 3 0 是命题 2 命题 若p 则q 的否命题是 若p 则綈q 3 当q是p的必要条件时 p是q的充分条件 4 若p不成立 则q不成立 等价于 若q成立 则p成立 解析 1 错误 该语句不能判断真假 故该说法是错误的 2 错误 否命题既否定条件 又否定结论 答案 1 2 3 4 答案C 3 选修2 1P8AT2 1 改编 若a b都是偶数 则ab必是偶数 的逆否命题为 解析 a b都是偶数 的否定为 a b不都是偶数 ab是偶数 的否定为 ab不是偶数 故其逆否命题为 若ab不是偶数 则a b不都是偶数 答案若ab不是偶数 则a b不都是偶数 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案A 5 2017 北京卷 能够说明 设a b c是任意实数 若a b c 则a b c 是假命题的一组整数a b c的值依次为 解析a b c 取a 2 b 4 c 5 则a b 6 c 答案 2 4 5 答案不唯一 因此2a 0 故a 0 所以 a 0 是 函数f x 为奇函数 的充要条件 答案充要 考点一命题及其关系 例1 1 2019 郑州模拟 下列说法正确的是 2 根据函数单调性的概念 只要找到一个定义域为 0 2 的不单调函数 满足在定义域内有唯一的最小值点 且f x min f 0 规律方法1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 1 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 2 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 1 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 2 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易时 可间接判断 训练1 1 2018 肇庆一诊 命题 若a b c成等比数列 则b2 ac 的逆否命题是 A 若a b c成等比数列 则b2 ac B 若a b c不成等比数列 则b2 ac C 若b2 ac 则a b c成等比数列 D 若b2 ac 则a b c不成等比数列 2 命题p 若x 0 则x a 命题q 若m a 2 则m sinx x R 恒成立 若p的逆命题 q的逆否命题都是真命题 则实数a的取值范围是 解析 1 命题 若a b c成等比数列 则b2 ac 的逆否命题是 若b2 ac 则a b c不成等比数列 2 命题p的逆命题是若x a 则x 0 故a 0 因为命题q的逆否命题为真命题 所以命题q为真命题 则a 2 1 解得a 1 则实数a的取值范围是 0 1 答案 1 D 2 0 1 考点二充分条件与必要条件的判定 例2 1 2018 北京卷 设a b均为单位向量 则 a 3b 3a b 是 a b 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 解析 1 a 3b 3a b a 3b 2 3a b 2 a2 6a b 9b2 9a2 6a b b2 又 a b 1 a b 0 a b 因此 a 3b 3a b 是 a b 的充要条件 故 m 1 是 f f 1 4 的充分不必要条件 答案 1 C 2 A 规律方法充要条件的三种判断方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 2 集合法 根据使p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断 这个方法特别适合以否定形式给出的问题 训练2 1 2018 浙江卷 已知平面 直线m n满足m n 则 m n 是 m 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2 2019 佛山质检 已知函数f x 3x 3 x a b R 则 a b 是 f a f b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 1 若m n m n 由线面平行的判定定理知m 若m m n 不一定推出m n 直线m与n可能异面 故 m n 是 m 的充分不必要条件 2 因为f x 3x 3 x 所以f x 3xln3 3 xln3 1 3xln3 3 xln3 易知f x 0 所以函数f x 3x 3 x为 上的单调递增函数 从而由 a b 可得 f a f b 由 f a f b 可得 a b 即 a b 是 f a f b 的充要条件 答案 1 A 2 C 考点三充分条件 必要条件的应用典例迁移 例3 经典母题 已知P x x2 8x 20 0 非空集合S x 1 m x 1 m 若x P是x S的必要条件 求实数m的取值范围 解由x2 8x 20 0 得 2 x 10 P x 2 x 10 x P是x S的必要条件 则S P 又 S为非空集合 1 m 1 m 解得m 0 综上 m的取值范围是 0 3 迁移探究1 本例条件不变 问是否存在实数m 使x P是x S的充要条件 并说明理由 解由例题知P x 2 x 10 若x P是x S的充要条件 则P S 迁移探究2 设p P x x2 8x 20 0 q 非空集合S x 1 m x 1 m 且綈p是綈q的必要不充分条件 求实数m的取值范围 解由例题知P x 2 x 10 綈p是綈q的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件 p q且qp 即P S m 9 又因为S为非空集合 所以1 m 1 m 解得m 0 综上 实数m的取值范围是 9 规律方法充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 要注意区间端点值的检验 尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时 不等式是否能够取等号决定端点值的取舍 处理不当容易出现漏解或增解的现象 训练3 2018 浏阳三校联考 设p 实数x满足x2 4ax 3a20 若a 0且p是q的充分不必要条件 求实数a的取值范围 解由p得 x 3a x a 0 则 2 x 3或x2 则x 4或x 2 设p A 3a a q B 4 2 又p是q的充分不必要条件 思维升华 1 写出一个命题的逆命题 否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论 然后按定义来写 在判断四种命题之间的关系时 首先要注意分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 并注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题定为原命题 也就相应地有了它的 逆命题 否命题 逆否命题 2 充分 必要条件与集合的关系 p q成立的对