用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.docx

用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程情景导入：（一）小明用一段长为20米的竹篱笆围成一个矩形,怎样设计才可以使得该矩形的面积为9平方米?思考:根据题意,矩形的周长是米,设矩形的长为x米,则矩形的宽为米,题目中的等量关系为,故可列出方程为.【师生活动】教师引导,学生思考回答.设该矩形的长为x米,依题意得x(10-x)=9,即x2-10x+9=0.（二）用直接开平方法解下列方程.(1)2x2-8=0;(2)3(x-1)2=12.【师生活动】师生共同复习直接开平方法解一元二次方程的步骤.学生独立完成练习,教师做点评.探索新知：【课件1】根据完全平方公式填空.(1)x2+8x+=(x+)2(2)x2-x+=(x-)2(3)x2+mx+=()2完成填空并思考:当二次项系数为1,且二次三项式可配成完全平方式时常数项和一次项系数之间有什么关系?【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.归纳总结:当二次项系数为1且二次三项式可配成完全平方式时,常数项是一次项系数一半的平方.【课件2】你会解这样的方程吗?(1)x2+6x+9=0;(2)x2+6x+4=0.【师生活动】学生独立完成方程(1)的求解.教师点评:方程左边配成完全平方形式,用直接开平方法求解.共同探究方程(2)的解法:思路一教师引导分析、思考下列问题并回答.1.方程(2)与方程(1)的区别是什么?方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式.2.把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?移项,得x2+6x=-4,根据等式的性质,方程两边同时加9可以把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同.3.试着解方程(2).解:移项,得x2+6x=-4,方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,配方,得(x+3)2=5,x+3=5,x+3=5或x+3=-5,x1=-3+5,x2=-3-5.思路二通过学生合作交流,完成方程(1)的求解.探究中思考:我们学会了用直接开平方法解一元二次方程,方程(2)能不能化成直接开平方的方程的形式,然后降次求解?【师生活动】给学生充足的时间,进行小组合作交流,教师引导分析两个方程之间的区别和联系,对有困难的学生加以引导.解:移项,得x2+6x=-4,方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,配方,得(x+3)2=5,x+3=5,x+3=5或x+3=-5,x1=-3+5,x2=-3-5.思考问题:你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【师生活动】小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.【课件3】配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(把常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根. 知识拓展1.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).2.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方是为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.课堂小结：1.配方法:把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k(k0)的形式(其中h,k都是常数),再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(提示:若k0,方程无实数根)2.解一元二次方程的基本思路是降次,把一元二次方程化为(x+h)2=k(k0)的形式后两边开平方使原方程变为两个一元一次方程,课堂练习：1.将二次三项式x2-4x+1配方后得()A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-32.已知x2-8x+15=0,要将方程左边化成含有x的完全平方形式,下列做法正确的是()A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-113