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文档简介

3 1空间直角坐标系与向量 3 1 1 空间直角坐标系3 1 2 向量的概念3 1 3 向量的线性运算3 1 4 向量在轴上的投影3 1 5 方向余弦 3 1 1空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系 符合右手系 空间直角坐标系共有八个卦限 yoz面 zox面 xoy面 特殊点的表示 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 向量 既有大小又有方向的量 以A为起点 B为终点的有向线段 向量的模 向量的大小 单位向量 模为1的向量 零向量 模为0的向量 模又称为长度或范数 A B 3 1 2向量的概念 零向量没有确定的方向 负向量 大小相等但方向相反的向量 自由向量 不考虑起点位置的向量 向量的坐标表示 设 a1 a2 a3 b1 b2 b3 向量的模 设A a1 a2 a3 利用勾股定理从图中可得 例非零向量单位化 设向量 则 定义设 a1 a2 a3 b1 b2 b3 称为加法 k 称为数乘 加法与数乘统称为线性运算 减法 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 k ka1 ka2 ka3 3 1 3向量的线性运算 例化简 解 1 向量加法运算的几何意义 平行四边形法则 2 向量减法运算的几何意义 3 向量数乘运算的几何意义 伸缩变换 3 向量数乘运算的几何意义 伸缩变换 2 k 0 例证明 三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半 证设DE是中位线 例用向量方法证明 对角线互相平分的四边形必是平行四边形 证 结论得证 4 向量线性运算满足的运算规律 1 2 3 0 4 0 5 1 6 K l kl 7 k k k 8 k l k l 5 基向量与线性表出 a1 a2 a3 a1 0 0 0 a2 0 0 0 a3 称 可由 线性表出 6 向量平行 向量共线 解 所求向量有两个 一个与同向 一个反向 或 3 1 4向量在轴上的投影 1 空间一点在轴上的投影 2 向量在轴上的投影 过空间点A B作垂直于轴u的平面 与轴u交于 B 点 于是向量AB在轴u上的投影定义为 解 例 3 空间两向量夹角的概念 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与之间任意取值 4 向量在轴上的投影有以下两个性质 u 投影为负 投影为零 投影为正 2 5 空间上两点间距离公式 特别 若两点分别为 解 原结论成立 解 设P点坐标为 所求点为 非零向量与三条坐标轴正
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