空间直角坐标系课件北师大.ppt

空间直角坐标系 如何确定空中飞行的飞机的置 问题1 怎样确切的表示室内灯泡的位置 问题2 对问题1 2的分析 对于直线上的点 我们可以通过建立数轴来确定点的位置 对于平面上的点 我们可以通过建立平面直角坐标系来确定点的位置 对于空间中的点 我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置 因此 如何在空间中建立坐标系 就成为我们需要研究的课题 数轴Ox上的点M 可用与它对应的实数x表示 直角坐标平面上的点M 可用一对有序实数 x y 表示 x y 知识探究 一 空间直角坐标系 归纳 数轴上的点M的坐标用一个实数x表示 它是一维坐标 平面上的点M的坐标用一对有序实数 x y 表示 它是二维坐标 设想 对于空间中的点M的坐标 需要几个实数表示 联想并思考1 平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成 请大家想一想 怎样建立一个空间直角坐标系 空间直角坐标系由几条数轴组成呢 其相对位置关系如何 三条交于一点且两两互相垂直的数轴 空间直角坐标系的建立 在空间中 过任意的一点O作三条两两互相垂直的具有相同长度单位的数轴 x轴 y轴 z轴 组成空间直角坐标系O xyz 如下图所示 其中点O叫做坐标原点 x轴 y轴 z轴叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 并分别称为xOy平面 yOz平面 xOz平面 O 思考2 在空间直角坐标系Oxyz中 三个坐标平面的位置关系如何 它们将空间分成几个部分 在空间直角坐标系中 三个坐标平面的位置关系是两两互相垂直 它们把空间分成8部分 我们把每一部分分别叫做第1卦限 第2卦限 第3卦限 第4卦限 第5卦限 第6卦限 第7卦限 第8卦限 思考3 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 以点D为坐标原点建立空间直角坐标系 那么x轴 y轴 z轴应如何选取 知识探究 二 空间直角坐标系中点的坐标 思考1 在平面直角坐标系中 点M的横坐标 纵坐标的含义如何 思考 在空间直角坐标系中 怎样描述一点M位置呢 在空间直角坐标系中 设点M为空间的一个定点 过点M分别作垂直于x轴 y轴 z轴的平面 垂足为A B C 设点A B C在x轴 y轴 z轴上的坐标分别为x y z 那么点M的位置与有序实数组 x y z 是一个什么对应关系 设点M是空间的一个定点 过点M分别作垂直于x轴 y轴和z轴的平面 依次交x轴 y轴和z轴于点P Q和R 空间直角坐标系中点的坐标的确定方法 M O 设点P Q和R在x轴 y轴和z轴上的坐标分别是x y和z 那么点M就对应唯一确定的有序实数组 x y z 我们把有序实数组 x y z 称为点M的空间坐标 记为M x y z 其中x y z分别叫做点M的横坐标 纵坐标 竖坐标 x y z 反过来 对于一个有序实数组 x y z 它也唯一的对应着空间直角坐标系中的点 在x轴 y轴和z轴上依次取坐标为x y和z的点P Q R M O 分别过P Q R各作一个平面 分别垂直于x轴 y轴和z轴 这三个平面的唯一交点就是有序实数组 x y z 确定的点M 例如在空间直角坐标系中怎样求点M 1 2 3 的位置呢 方法一 分析 因为点P在第一卦限 故在x轴上取点P 1 0 0 在y轴上取点Q 0 2 0 在z轴上取点R 0 0 3 然后过A B C分别作x轴 y轴 z轴的垂面 则这三个垂面的交点就是点P如图所示 方法二 先画一个长方体使共顶点的三条棱长分别为1 2 3 M O 思考2 设点M的坐标为 a b c 过点M分别作xOy平面 yOz平面 xOz平面的垂线 那么三个垂足的坐标分别如何 A a b 0 B 0 b c C a 0 c 思考2 x轴 y轴 z轴上的点的坐标有何特点 xOy平面 yOz平面 xOz平面上的点的坐标有何特点 x轴上的点 x 0 0 xOy平面上的点 x y 0 xoy平面上的点竖坐标为0例如 D点坐标记为D a b 0 yoz平面上的点横坐标为0例如 E点坐标记为E 0 b c xoz平面上的点纵坐标为0例如 F点坐标记为F a 0 c x轴上的点纵坐标竖坐为0 例如 A点坐标记为A a 0 0 z轴上的点横坐标纵坐标为0 例如 C点坐标记为C 0 0 c y轴上的点横坐标竖坐标为0 例如 B点坐标记为B 0 b 0 二 坐标平面内的点 一 坐标轴上的点 规律总结 D E F 思考3 在空间直角坐标系中 在每个卦限内点的横 纵 竖坐标的符号分别具有怎样的特点 1 点M x y z 在第1卦限时 X 0 y 0 z o 2 点M x y z 在第2卦限时 X0 z o 3 点M x y z 在第3卦限时 Xo 4 点M x y z 在第4卦限时 X 0 yo 5 点M x y z 在第5卦限时 X 0 y 0 z0 z o 7 点M x y z 在第7卦限时 X0 y 0 z o 思考3 设点M的坐标为 x y z 那么点M关于x轴 y轴 z轴及原点对称的点的坐标分别是什么 M x y z N x y z 点M x y z 是空间直角坐标系中的一点 则有 1 与M点关于X轴对称的点为 x y z 2 与M点关于Y轴对称的点为 x y z 3 与M点关于Z轴对称的点为 x y z 4 与M点关于原点对称的点为 x y z 5 与M点关于xoy平面对称的点为 x y z 6 与M点关于yoz平面对称的点为 x y z 7 与M点关于xoz平面对称的点为 x y z 思考4 设点A x1 y1 z1 点B x2 y2 z2 则线段AB的中点M的坐标如何 例1 OABC A B C D 是单位正方体 以O为原点分别以射线OA OC OD 的方向为正方向 以线段OA OC OD 的长为单位长 建立空间直角坐标系O xyz 试说出正方体的各个顶点的坐标 并指出哪些点在坐标轴上 哪些点在坐标平面上 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 例2 在长方体OABC D A B C 中 已知 OA 3 OC 4 OD 2 建立如图所示的空间直角坐标系 试写出长方体各顶点的坐标 例3 如下图 在长方体OABC D A B C 中 OA 3 OC 4 OD 3 A C 与B D 相交于点P 分别写出点C B P的坐标 O B A B C P P Q Q 例4 如图 棱长为a的正方体OABC D A B C 中 对角线OB 于BD 相交于点Q 顶点O为坐标原点 OA OC分别在x轴 y轴的正半轴上 试写出点Q的坐标 x z x y O 例5 在空间直角坐标系中标出下列各点 A 0 2 4 B 1 0 5 C 0 2 0 D 1 3 4 1 3 4 D D 解 把图中的钠原子分成上 中 下三层来写它们所在位置的坐标 例5 结晶体的基本单位称为晶胞 如图是食盐晶胞的示意图 可看成是八个棱长为1的小正方体堆积成的正方体 其中色点代表钠原子 黑点代表氯原子 如图建立空间直角坐标系O xyz后 试写出全部钠原子所在位置的坐标 上层的原子所在的平面