竞赛辅导班第一讲函数极限.ppt

机动目录上页下页返回结束 函数与极限 第一讲 一 历年试题分类统计及考点分布 二 考点综述及主要解题方法与技巧 三 真题解析 一 历年试题分类统计及考点分布 1 极限定义与性质与结论 机动目录上页下页返回结束 2 极限的计算 二 考点综述与主要解题方法与技巧 3 连续性与间断点 夹逼准则 与单调有界准则 两个重要极限 无穷小代换 泰勒公式 拉格朗日中值定理 导数定义及定积分定义 罗必达法则 1 极限定义 性质 与结论 定义 当 时 有 1 充要条件 性质 2 局部有界性 3 局部保号性 若 且A 0 则存在 A 0 则存在正常数 若 结论 例1 设 存在 求 机动目录上页下页返回结束 为常数 且 的值 并计算极限 注 左右极限与极限的关系 结论 练习 求 解 原式 1 2000考研真题 机动目录上页下页返回结束 使得 设函数 连续 且 则存在 例2 机动目录上页下页返回结束 注 保号性的应用与极限与单调性极值的关系 设函数 例 机动目录上页下页返回结束 注 极限与有界性的关系 以及闭区间上连续函数的性质 则在定义域上 2极限的计算 a 七种未定式的极限计算 计算步骤 化简 判定类型 选择方法 方法与技巧 无穷小代换 洛必达法则 泰勒公式 根号有理化 极限存在准则 导数与积分定义等 主要结论 1 主要推论 1 则有 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 重要极限 洛比达法则 利用结论 例1 2003年真题4分 求极限 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 幂指函数 选择方法 取对数 洛比达法则或第二重要极限 主要结论 例2 201 年真题 分 主要结论 2 主要推论 2 例3 2004年真题 求极限 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 无穷小代换 泰勒公式 利用结论 例 求极限 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 幂指函数 选择方法 取对数 洛比达法则或第二重要极限 主要结论 则有 a 和差取大规则 若 o b 和差代换 例如 机动目录上页下页返回结束 例如 主要结论 且 存在 则 例1 求 解 原式 c 乘积代换 界 则 例如 d 幂指型代换 则 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 无穷小代换 泰勒公式 利用结论 例5 2006年真题3分 例6 求极限 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 无穷小代换 注意细节 推广 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 无穷小代换 利用结论 例7 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 无穷小代换 拉格朗日中值定理 利用结论 例8 设 求极限 机动目录上页下页返回结束 主要结论 4 设 若 则 若 则 设 若 则 若 则 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 重要极限 根值法 利用结论 例10 设 若 则 若 则 机动目录上页下页返回结束 利用结论 例10 设 若 则 若 则 b 综合计算题 已知极限反求参数 无穷小比阶的问题 利用收敛准则求极限 与其他知识结合的综合题 利用中值定理求极限 例1 求极限 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 根号有理化 无穷小代换 例 求极限 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 根号有理化 注意细节 例3 求极限 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 技巧 变量倒代换 将 例4 当 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 无穷小代换 泰勒公式 利用结论 与 是等价无穷小 求a b 例5 若 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 无穷小代换 泰勒公式 利用结论 求a b 例6 确定常数a b c的值 使得 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 无穷小代换 泰勒公式 注意细节 保号性与变上限积分的求导 例7 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 拉格朗日中值定理 洛比达法则 注意细节 无穷小代换的灵活运用 求极限 例6 设 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 拉格朗日中值定理 乘积无穷小代换 注意细节 无穷小代换的灵活运用 求极限 例9 设 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 数列极限 选择方法 单调有界数列收敛准则 相关结论 证明数列 的极限存在 并求此极限 例10 设 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 数列极限 选择方法 单调有界数列收敛准则 相关结论 证明数列 的极限存在 并求此极限 机动目录上页下页返回结束 例11 年真题 分 析 判定类型 利用结论 同除以分子分母最低阶无穷小的等价无穷小 选择方法 则必有 历年真题解析 2011年真题 分 求极限 析 判定类型 选择方法 重要极限 洛比达法则 无穷小代换 相关结论 当 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 无穷小代换 泰勒公式 利用结论 与 是等价无穷小 求a b 2009年真题 分 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 讨论左右极限 选择方法 重要极限 代入法 利用结论 200 年真题 分 机动目录上页下页返回结束 年真题 分 析 判定类型 选择方法 洛比达法则 无穷小代换 重要极限 利用结论 同除以分子分母最低阶无穷小的等价无穷小 设 机动目录上页下页返回结束 析 判定类型 数列极限 选择方法 单调有界数列收敛准则 相关结论 的极限存在 并求此极限 年真题 分 试证明 机动目录上页下页返回结束 年真题 分 析 判定类型 利用结论 选择方法 洛比达法则 重要极限 求a值 机动目录上页下页返回结束 年真题 分 析 判定类型 利用结论 选择方法 洛比达法则 重要极限 机动目录上页下页返回结束 年真题 分 析 判定类型 利用结论 选择方法 洛比达法则 重要极限 三 连续与间断 1 函数连续的等价形式 2 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 机动目录上页下页返回结束 有界定理 最值定理 零点定理 介值定理 3 闭区间上连续函数的性质 例1 设函数 在x 0连续 则a b 提示 机动目录上页下页返回结束 例2 求 的间断点 并判别其类型 解 x 1为第一类可去间断点 x 1为第二类无穷间断点 x 0为第一类跳跃间断点 机动目录上页下页返回结束 有无穷间断点 及可去间断点 解 为无穷间断点 所以 为可去间断点 极限存在 例3 设函数 试确定常数a及b 机动目录上页下页返回结束 例4 设f x 定义在区间 上 若f x 在 连续 提示 阅读与练习 且对任意实数 证明f x 对一切x都连续 P64题2 2 4 P73题5 机动目录上页下页返回结束 证 例5 证明 若 令 则给定 当 时 有 又 根据有界性定理 使 取 则 在 内连续 存在 则 必在 内有界 机动目录上页下页返回结束 例6 设函数在闭区间 a b 上连续 对于 以及 证明 存在 使得 例7 有一张形状怪异的饼放在方形的餐桌上 能否一刀将这张饼切成面积相等的两半 而刀口平行于餐桌的某条指定的边 如果可以做到 问这种切法是否唯一 综合练习 求下列极限