硕士开题报告模板.doc

中国科学技术大学研究生学位论文开题报告 论文题目 时间尺度上动力方程的解 学生姓名 郝 兆 才 学生学号 BA03001009 指导教师肖体俊教授、梁进教授 所在院系 理学院 数学系 学科专业 基 础 数 学 研究方向 泛 函 分 析 填表日期 2004. 10 中国科学技术大学研究生院培养办公室二零零四年五月制表说明1. 抓好研究生学位论文开题报告工作是保证学位论文质量的一个重要环节。为加强对研究生培养的过程管理，规范研究生学位论文的开题报告，特印发此表。2. 研究生一般应在课程学习结束之后的第一个学期内主动与导师协商，完成学位论文的开题报告。3. 研究生需在学科点内报告，听取意见，进行论文开题论证。4. 研究生论文开题论证通过后，在本表末签名后将此表交所在学院教学办公室备查。一选题依据(阐述该选题的研究意义，分析该研究课题国内外研究的概况和发展趋势。)数学家Hugl L. Turrittin 曾在My Mathematical Expectations（Springer Lecture Notes, 312 (page 10)，1973）中说到：“随着对差分方程以及它与微分方程的密切关系熟悉程度的加深，我越来越希望差分方程理论有朝一日能与微分方程理论协调统一以来”。1988年，德国数学家Stefan Hilger 在其博士论文中提出，可以通过把R上函数的定义域减弱为R上的任意一个时间尺度,得到新的导数运算, 来完成这种协调统一。这直接导致了时间尺度上动力方程的研究这一新兴研究课题的兴起, 并逐步引起了诸多专家学者的关注。在R上, 只要是有关离散和连续的理论出现了相似性, 这种测度链上的计算就可以对这种相似性给出一个清晰的解释依据。 另外, 在不同的时间尺度上所产生的研究结果有着差异, 但测度链上的计算可以为探询这些差异如何产生提供一个有力的工具。R上有很多重要而有趣的时间尺度存在, 也会产生广泛的(潜在)应用, 特别是对于有些在连续时间上显现, 有些在离散时间上显现的一些现象。在具体的研究中,时间尺度上动力方程的处理与传统的常微分方程理论和差分方程理论有相似的地方, 但毕竟更一般化, 而且由于这是新的研究课题, 还有许多重要问题有待探究。选取该领域来研究, 有其理论的必要性，也有应用的重要性。现在,国际上对时间尺度上动力方程的研究方兴未艾。Ravi Agarwal, Douglas Anderson, Martin Bohner, Lynn Erbe, Johnny Henderson, Stefan Hilger, V. Lakshmikantham, Donal Oregan，Allan Peterson等学者运用许多方法对这一课题进行了深入的研究, 取得了一系列成果。这一课题的研究以R. P. Argrwal, Martin Bohner , V. Lakshmikantham , Allan Peterson等学者的几本专著、专辑为标志而初步达到系统化。(国内外主要参考文献（列出作者、论文名称、期刊名称、出版年月）。)1. R. P. Argrwal, M. Bohner, D. Oregan, Special Issue on “Dynamic Equations on Time Scales”, J. Comput. Appl. Math., 141(1-2)(2002).2. M. Bohner, A. Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction With Applications, Birkhuser, Boston, 2001.3. M. Bohner, A. Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhuser, Boston, 2003.4. S. Hilger, Analysis on measure chainsa unified approach to continuous and discrete calculus, Results Math., 18(1-2)(1990):18-56.5. V. Lakshmikantham, S. Sivasundaram, B. Kaymakcalan, Dynamic Systems on Measure Chains, Mathematics and Its Applications, Vol 370, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,1996.6. Ti-Jun Xiao and Jin Liang, The Cauchy Problem for Higher-order Abstract Differential Equations , Lecture Notes in Mathematics 1701, Springer, Berlin, New York, 1998.二研究内容和研究方法(主要研究内容及预期成果，拟采用的研究方法、技术路线、实验方案的可行性分析。)主要研究内容:目前国内外对时间尺度上动力方程的研究主要围绕有限区间上正解的存在性问题展开,而且一般都要求函数的连续性。本论文将致力于探索在函数奇异(特别是奇异超线性问题)乃至函数条件更一般的情形下,如何刻画正解的存在性、特征区间,并进而研究正解存在的充分必要条件.在这些工作的基础上,进一步研究变号解和无穷区间上解的相关问题。预期成果:预期在有限区间上奇异动力方程解的存在性问题、特征区间问题、变号解问题和无穷区间上解的相关问题的研究中取得重要结果.研究方法: 把有实际意义的各种（奇异）动力方程化简归类，转化为半序Banach空间的算子方程,再利用非线性泛函分析的理论（不动点指数理论，度理论等）和方法（如上下解方法、单调算子迭代方法、不动点方法等）结合微分方程理论,来研究时间尺度上二阶动力方程乃至高阶动力方程以及方程组的边值问题上、下解的存在性、正解(一解,多解)的存在性、特征区间问题、解存在的充要条件、变号解问题以及无穷区间上解的相应问题.技术路线: (1) 对已有文献进行仔细研读,深刻理解掌握. (2) 密切注意国内外的学术新动向,及时研究国内外最新的相关成果。(3) 出席有关的学术会议，进行学术交流。(4) 和国内外同行保持密切的学术联系，交流学术资料和科研成果.三课题研究的创新之处(研究内容、拟采用的研究方法、技术路线等方面有哪些创新之处。)(1):目前国内外的研究一般都要求函数的连续性,研究的主要是有限区间上正解的存在性问题.我们致力于探索在函数奇异特别是函数条件更一般的情形下,如何刻画解的存在性、特征区间,并进而研究解存在的充分必要条件.在这些工作的基础上,进一步研究变号解和无穷区间上解的相关问题.(2):超线性问题是非线性动力方程研究的难点之一。我们拟根据不同的问题,构造相应的特殊的锥,并进而使用锥理论、不动点理论、度理论等非线性泛函分析的理论方法去找到解,从而克服超线性带来的困难,而传统的上下解方法、打靶法等对超线性问题是无能为力的.(3)目前关于动力方程的研究主要集中在解存在的充分条件，我们希望能够刻画解存在的充分必要条件.四研究工作进度安排文献调研: 2004.012004.12文献掌握、理论推导、分析: 2005.01-2005.06撰写论文初稿: 2005.07-2005.12修改、整理打印论文: 2006.01-2006.04五已取得的与论文研究内容相关的成果(已发表或被接收发表的文章目录或其它相关研究成果。)1 Liang Jin(梁进), Xiao Ti-jun(肖体俊), Hao Zhao-Cai(郝兆才), Positive solutions of singular differential equations on measure chains, Appl. Math. Modelling (修改稿) 2 Hao Zhao-Cai(郝兆才), Jongkyu Kim，A necessary and sufficient condition for the existence of positive solutions to a class of singular second-order boundary value problems, Nonlinear Functional Analysis and Applications（韩国）, 9(2)(2004):271-2803 Hao Zhao-Cai (郝兆才), Zhang Hong-Qian, Qu Yue-Kuan, Multiple positive solutions for a class of singular boundary value problems, Ann. of Diff. Eqs,19(4)(2003):497-5044 Hao Zhao-Cai(郝兆才), Positive solutions for fourth order singular boundary value problems, Nonlinear Functional Analysis and Applications(