十年（2016-2025年）高考数学真题分类汇编：专题20 立体几何解答题综合（二）（原卷版）

专题20立体几何解答题综合（二）

（四大考点，68题）

考点十年考情(2016-2025)命题趋势

2025年天津卷：证明线面垂直、求面面夹角余弦值、

求三棱锥体积；2025年全国一卷：证明面面垂直、证

明球心位置、求异面直线所成角余弦值；2024年新课

标Ⅱ卷：证明线线垂直、求二面角正弦值；2024年

北京卷：证明线面平行、求面面夹角余弦值；2023年

新课标Ⅱ卷：证明线线垂直、求二面角正弦值；2023

年全国乙卷：证明线面平行、证明面面垂直、求二面

角正弦值；2023年北京卷：证明线面垂直、求二面角

大小；2023年全国甲卷：证明线线相等、求线面角正

弦值；2023年全国甲卷：证明面面垂直、求四棱锥的

高；2022年全国甲卷：证明线线垂直、求线面角正弦

1.垂直关系证明是基础，

值；2022年浙江卷：证明线线垂直、求线面角正弦值；

常通过线面垂直的判定与

2022年全国乙卷：证明面面垂直、求三棱锥体积；

性质定理进行转化，涉及

考点1:空间2022年全国乙卷：证明面面垂直、求线面角正弦值；

线线、线面、面面垂直的

中的垂直关系2021年新高考全国Ⅱ卷：证明面面垂直、求二面角

相互推导。2.线面角、二

（线线、线面、余弦值；2021年全国乙卷：证明面面垂直、求四棱锥

面角的求解多与空间向量

面面）体积；年新高考全国Ⅰ卷：证明线线垂直、求

2021结合，利用法向量计算夹

三棱锥体积；2021年全国甲卷：证明线线垂直、求二

角，体积计算常运用等体

面角正弦值；2021年全国甲卷：证明线面平行、证明

积法转化顶点。

线线垂直；2020年浙江卷：证明线线垂直、求线面角

正弦值；2020年全国II卷：证明线线平行、证明面

面垂直、求线面角正弦值；2020年全国I卷：证明

面面垂直、求三棱锥体积；2020年全国II卷：证明

线线平行、证明面面垂直、求线面角正弦值；2020年

江苏卷：证明线面平行、证明面面垂直；2020年海南

卷：证明线面垂直、求线面角正弦值；2019年全国II

卷：证明线面垂直、求四棱锥体积；2019年天津卷：

证明线面平行、证明线面垂直、求线面角正弦值；2019

年北京卷：证明线线垂直、求二面角余弦值、判断直

线是否在平面内；2019年北京卷：证明线面垂直、证

明面面垂直、判断线面平行；2018年浙江卷：证明线

面垂直、求线面角正弦值；2018年全国I卷：证明

面面垂直、求三棱锥体积；2018年全国III卷：证明

面面垂直、判断线面平行；2019年浙江卷：证明线线

垂直、求线面角余弦值；2019年江苏卷：证明线面平

行、证明线线垂直；2017年全国III卷：证明线线垂

直、求体积比；2017年山东卷：证明线面平行、求线

面角正弦值；2019年全国III卷：证明点共面、证明

面面垂直、求四边形面积；2016年全国II卷：证明

线面垂直、求五棱锥体积；2017年江苏卷：证明线面

平行、证明线线垂直；2017年全国I卷：证明面面

垂直、求四棱锥侧面积；2017年北京卷：证明线线垂

直、证明面面垂直、求三棱锥体积；2018年江苏卷：

证明线面平行、证明面面垂直；2016年北京卷：证明

线面垂直、证明面面垂直、判断线面平行；2016年四

川卷：找线面平行的点、证明面面垂直、求线面角正

弦值；2018年全国II卷：证明线面垂直、求点面距；

2016年浙江卷：证明线面垂直、求线面角余弦值；

2017年上海卷：求三棱柱体积、求线面角大小；2016

年天津卷：证明线面平行、证明面面垂直、求线面角

正弦值

1.点面距求解常利用等体

2024年全国甲卷：证明线面平行、求点面距；2023年积法，将点到面的距离转

考点2:求空天津卷：证明线面平行、求面面夹角余弦值、求点面化为锥体的高，结合体积

间中的点面距距；2022年新高考全国Ⅰ卷：求点面距、求二面角公式计算。2.有时也通过

的值正弦值；2019年全国I卷：证明线面平行、求点面空间向量，利用点到面的

距；2018年全国II卷：证明线面垂直、求点面距距离公式求解，需熟练掌

握法向量的求法。

2024年上海卷：求旋转体体积、求线面角大小；2020

年北京卷：证明线面平行、求线面角正弦值；2020年

1.线面角求解需明确其定

山东卷：证明线面平行、求线面角正弦值；2017年天

义，即直线与平面中垂线

津卷：求异面直线所成角余弦值、证明线面垂直、求

的夹角，常通过找射影或

线面角正弦值；2018年天津卷：证明线线垂直、求异

利用空间向量，结合线面

考点3:求线面直线所成角余弦值、求线面角正弦值；2017年浙江

角与向量夹角的关系计

面角卷：证明线面平行、求线面角正弦值；2016年四川卷：

算。2.多与几何体的垂直

找线面平行的点、证明面面垂直、求线面角正弦值；

关系、棱长计算结合，需

2016年浙江卷：证明线面垂直、求线面角余弦值；

熟练运用三角函数或向量

2017年上海卷：求三棱柱体积、求线面角大小；2016

运算。

年天津卷：证明线面平行、证明面面垂直、求线面角

正弦值

1.二面角求解需找到其平

2025年全国二卷：证明线面平行、求二面角正弦值；面角，可通过定义法、三

2024年新课标Ⅰ卷：证明线面平行、求线段长度；垂线法或空间向量法，利

2023年上海卷：证明线面平行、求二面角大小；2020用法向量夹角与二面角的

考点4:求二

年全国III卷：证明点在平面内、求二面角正弦值；关系计算。2.是立体几何

面角

2019年全国II卷：证明线面垂直、求二面角正弦值；中的难点，常与面面垂直、

2017年山东卷：求线线角大小、求二面角大小；2016几何体结构特征结合，需

年浙江卷：证明线面垂直、求二面角余弦值准确判断二面角的类型

（锐角或钝角）。

考点01：空间中的垂直关系（线线、线面、面面）

1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，、分别为中点，．

𝐴𝐵−�1�1�1�1���1�1,�1�1𝐶=3��1

(1)求证：平面；

��⊥𝐴�

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求三棱锥𝐴�的𝐴体�积．

2．（2025·全�国−一�卷��·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，．

�−𝐴𝐵��⊥𝐴𝐵��∥𝐵,𝐴⊥𝐵

(1)证明：平面平面；

(2)�𝐴⊥�𝐵，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．

（i�）�证=明�：�=在平2,�面�=1+上；3,��=2�����

（ⅱ）求直线�与直线𝐴𝐵所成角的余弦值．

3．（2024·新课��标Ⅱ卷·高�考�真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，

°

，点E，F满足，，将沿𝐴EF=翻8折�至�=3�，�使=得53∠𝐵�．=90

°21

∠�𝐵=30��=5����=2��△���△�����=43

(1)证明：；

(2)求平面�P�C⊥D�与�平面PBF所成的二面角的正弦值．

4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且

，．�−𝐴𝐵��//𝐵𝐴=��=1𝐵=3�𝐵

��⊥𝐵��=��=2

(1)若为线段中点，求证：平面．

(2)若�平面��，求平面��与//平面�𝐵夹角的余弦值．

𝐴⊥�𝐵�𝐴�𝐵

5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，

∘

E为BC的中点．�−�𝐵��=��=����⊥𝐵∠𝐵�=∠𝐵�=60

(1)证明：；

(2)点F满�足�⊥��，求二面角的正弦值．

6．（2023·全国��乙=卷�·�高考真题）如�图−，�在�三−棱�锥中，，，，，

BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，�−�，��点F在𝐴A⊥C�上�，𝐴=2.��=22𝐴=��=6

𝐵=5����⊥��

(1)证明：平面；

(2)证明：平��面//𝐵平�面BEF；

(3)求二面角𝐵�⊥的正弦值.

7．（2023·北�京−·高�考�−真�题）如图，在三棱锥中，平面，，．

�−𝐴���⊥𝐴���=𝐴=��=1��=3

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角��⊥的大小．

8．（2023·全�国−甲�卷�·−高�考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，

到平面的距离为1．𝐴�−�1�1�1�1�⊥∠�𝐴=90°,��1=2

�1���1�1

(1)证明：；

(2)已知�1与�=�的�距离为2，求与平面所成角的正弦值．

9．（202�3�·全1国�甲�1卷·高考真题）如�图�1，在三棱�柱��1�1中，平面．

𝐴�−�1�1�1�1�⊥𝐴�,∠�𝐴=90°

(1)证明：平面平面；

(2)设���1�1⊥，求四��棱1�锥1�的高．

10．（�2�02=2·全�1国�,甲��卷1·=高2考真题）在四�棱1−锥��1�1�中，底面

．�−𝐴𝐵𝐵⊥𝐴𝐵,𝐵∥𝐴,𝐵=��=𝐴=1,𝐴=

2,��=3

(1)证明：；

(2)求PD与��平⊥面��所成的角的正弦值．

11．（2022·浙江·�高�考�真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，

，，二面角𝐴𝐵𝐵��的平面角为．�设�/M/�，�N分��别/为/��𝐴的=中5点�．�=3

��=1∠�𝐵=∠𝐵�=60°�−��−�60°��,��

(1)证明：；

(2)求直线𝐹与⊥平𝐵面所成角的正弦值．

12．（2022�·�全国乙卷�·高��考真题）如图，四面体中，，E为AC的中

点．𝐴𝐵𝐵⊥𝐵,𝐵=𝐵,∠𝐵�=∠���

(1)证明：平面平面ACD；

(2)设�𝐵⊥，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

13．（�2�02=2·全��国=乙2卷,∠·高��考�真=题60）°如图，四面体中△，����−𝐴，�E为的中点．

𝐴𝐵𝐵⊥𝐵,𝐵=𝐵,∠𝐵�=∠�����

(1)证明：平面平面；

(2)设�𝐵⊥�𝐵，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦

值．𝐴=��=2,∠�𝐴=60°��△�����𝐴�

14．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若

．�−𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵=2,𝐵=��=

5,��=3

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角�𝐵⊥的�平�面𝐵角的余弦值．

15．（2021·全国�乙−卷�·�高−考�真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，

且．�−𝐴𝐵𝐵⊥𝐴𝐵��

𝐴⊥𝐵

（1）证明：平面平面；

（2）若�𝐵，⊥求四棱𝐴锥�的体积．

16．（202�1�·新=高�考�=全1国Ⅰ卷·高考真�题−）�如�图𝐵，在三棱锥中，平面平面，，为

的中点.�−�𝐵𝐴�⊥�𝐵𝐴=𝐵���

（1）证明：；

（2）若��是⊥边�长�为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，

求三棱锥△�𝐵的体积.�𝐵��=2���−��−�45°

�−�𝐵

17．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，

F分别为和的中点，D为棱上的点．𝐴�−�1�1�1��1�1�𝐴=��=2

����1�1�1��⊥�1�1

（1）证明：；

（2）当为��何⊥值�时�，面与面所成的二面角的正弦值最小?

18．（202�11·�全国甲卷·高考真��题1�）1�已知直�三��棱柱中，侧面为正方形，，E，

F分别为和的中点，.𝐴�−�1�1�1��1�1�𝐴=��=2

����1��⊥�1�1

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知D为�棱−𝐴�上的点，证明：.

19．（2020·浙江·高�考1�真1题）如图，三棱�台�A⊥B�C�—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，

DC=2BC．

（I）证明：EF⊥DB；

（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．

20．（2020·全国II卷·高考真题）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，

M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦

值.

21．（2020·全国I卷·高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角

形，为上一点，∠APC=90°．��△𝐴�

���

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

22．（2020·全国2II卷·高考真题）如图3π，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，

M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

π

3

23．（2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的

中点．

（1）求证：EF∥平面AB1C1；

（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．

24．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面

PBC的交线为．⊥

�

（1）证明：平面PDC；

（2）已知PD�=⊥AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．

25．（2019·全国II卷·高考真�题）如图，长方2体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，

BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．

26．（2019·天津·高考真题）如图，在四棱�锥−��1�1�中，底面为平行四边形，为等边三角形，

�−𝐴𝐵𝐴𝐵△�𝐵

平面平面，，，，

���⊥�𝐵��⊥𝐵𝐵=2𝐵=3

（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求�证 ：  �平面𝐴  ； ����∥�𝐵

（Ⅲ）求直线��⊥与平面�𝐵所成角的正弦值.

27．（2019·北京�·�高考真题�）�如�图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，

BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

��1

��3

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；=

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

𝐶2

𝐴=3

28．（2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD

的中点.�−𝐴𝐵��⊥

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

29．（2018·浙江·高考真题）如图，已知多面体均垂直于平面

．𝐴�−�1�1�1,�1�,�1�,�1�𝐴�,∠𝐴�=

120°,�1�=4,�1�=1,𝐴=��=�1�=2

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线𝐴1与⊥平面�1�1�所1成角的正弦值．

��1𝐴�1

30．（2018·全国I卷·高考真题）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把

折起，使点到达点的位置，且.𝐴𝐵�,�𝐵,����△���

（1）证明：�平面�平面�；�⊥��

（2）求与平面���⊥所成�角��的�正弦值.

��𝐴𝐵

31．（2018·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，

，、分别为、的中点.�−𝐴𝐵𝐴𝐵�𝐵⊥𝐴𝐵��⊥𝐵

��=𝐵��𝐵𝐴

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：�平�面⊥��平面；

（Ⅲ）求证：�平𝐴面⊥.�𝐵

32．（2018·全国��I/卷/·高考��真�题）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将

𝐴𝐵𝐴=��=3∠�𝐵=90°��

△折起，使点到达点的位置，且．

（1�）𝐵证明：平面�平面�；𝐴⊥��

（2）为线段上��一�⊥点，�为�线�段上一点，且，求三棱锥的体积．

2

�𝐵�����=��=3���-𝐴�

33．（2018·全国III卷·高考真题）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，

的点．𝐴𝐵𝐵�𝐵��

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上�是�否�⊥存在点��，�使得平面？说明理由．

𝐵���∥𝐴�

34．（2019·浙江·高考真题）如图，已知三棱柱，平面平面,，

分别是的中�点��.−�1�1�1��1�1�⊥𝐴�∠𝐴�=90°∠���=

30°,�1�=�1�=��,�,���,�1�1

（1）证明：；

（2）求直线��与⊥平��面所成角的余弦值.

1

35．（2019·江�苏�·高考真�题�）�如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

36．（2017·全国III卷·高考真题）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体

ABCE与四面体ACDE的体积比．

37．（2017·山东·高考真题）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四

边形为正方形，为与的�交�点𝐵，−�为1�1�的1�中1点，平�1面−�1𝐵．1

𝐴𝐵������𝐵�1�⊥𝐴𝐵

（1）证明：平面；

（2）设是�1�的/中/点，�证1�明�1：平面平面．

38．（201�9·全�国�III卷·高考真题）图1�是1�由�矩⊥形�1𝐵1和菱形组成的一个平面图形，其中

，，将其沿�折�起𝐴使,�得��𝐴与�重合�，�连��结，如图2.𝐴=

∘

1,��=��=2∠𝐴�=60𝐴,��������

（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的四边�,形�,�,�的面积.𝐴�⊥�𝐶�

�𝐶�

39．（2016·全国II卷·高考真题）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，

交于点，将沿折起到𝐴�的�位置.������,�𝐵,𝐵��=

��,�����𝐵����𝐵'��

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ)若��⊥𝐵'，求五棱锥的体积.

5

4

40．（20�1�7·=江5苏,�·�高=考6真,�题�）=如,图�，�'在=三2棱2锥A-BCD中�，'−AB�⊥��A�D�，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，

F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

41．（2017·全国I卷·高考真题）如图，在四棱锥中，，且.

�−𝐴𝐵𝐴∥𝐵∠���=∠𝐵�=90°

（1）证明：平面平面；

（2）若�𝐴⊥�，𝐵，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．

8

3

42．（201�7�·北=京𝐵·高=考�真�题=）��如图∠，��在�三=棱90锥°P－ABC中�，−PA�⊥��A�B，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，

D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

43．（2018·江苏·高考真题）在平行六面体中，,．

11111111

求证：（1）平面；𝐴𝐵−������=𝐴𝐴⊥��

（2）平面𝐴//平�1面�1�．

𝐴�1�1⊥�1��

44．（2016·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，平面，.

𝐴∥��,��⊥��

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：�平�面⊥��平�面；

（Ⅲ）设点E为A�B𝐴的⊥中点，�在�棱�PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.

45．（2016·四川·高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD�，�A/D/∥BC�，�∠�ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．

1

2

（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．

46．（2018·全国II卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，为的

中点．�-𝐴�𝐴=��=22��=𝐴=��=��=4���

（1）证明：平面；

（2）若点在��棱⊥上�，�且�二面角为，求与平面所成角的正弦值．

����-��-�30°���𝐵

考点02：求空间中的点面距的值

47．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，

𝐴//𝐵,𝐵//��𝐴=��=��=��=2𝐵=4,𝐵=��=10

,为的中点.

��=23�𝐵

(1)证明：平面；

(2)求点到𝐵//的距�离��.

48．（20�23·天𝐵津�·高考真题）如图，在三棱台中，平面

，为中点.，N为AB的中点，𝐴�−�1�1�1�1�⊥𝐴�,𝐴⊥��,𝐴=��=��1=

2,�1�1=1���

(1)求证：//平面；

(2)求平面�1�与平�面��1所成夹角的余弦值；

(3)求点到�平��面1的�距��离1�．1

49．（20�22·新高�考�全�国1Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

𝐴�−�1�1�1△�1��22

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的�1中��点，，平面平面，求二面角的正弦值．

11111

50．（2019·�全�国I卷·高考��真题=）�如�图，直四�棱��柱⊥ABCD�–�A�1B�1C1D1的底面是�菱−形��，A−A�1=4，AB=2，∠BAD=60°，

E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

51．（2018·全国II卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，为的

中点．�-𝐴�𝐴=��=22��=𝐴=��=��=4���

（1）证明：平面；

（2）若点在��棱⊥上�，�且�，求点到平面的距离．

�����=2����𝐵

考点03：求线面角

52．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．

�−𝐴𝐵,�𝐴𝐵

(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若��=5,𝐵为=3的2中点△，�求�直�线��与平面所成角的大小．

��=𝐵,�𝐴�����

53．（2020·北京·高考真题）如图，在正方体中，E为的中点．

𝐴𝐵−�1�1�1�1��1

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线��1/与/平面𝐵1�所成角的正弦值．

54．（2020·山�东�·1高考真题𝐵）1已�知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，

使二面角为直二面角，�如图�所示.𝐴𝐵𝐵����𝐵��

�−��−�

（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；

（2）求直线��与平面���所�成角的正弦值.��//��𝐵

55．（2017·天津��·高考真题𝐴）�如�图，在四棱锥中，平面，，，，，

，.�−𝐴𝐵𝐵⊥𝐵�𝐵∥��𝐵⊥𝐴𝐵=1��=3

�（�I）=求4异�面�直=线2与所成角的余弦值；

（II）求证：�平�面��；

（Ⅲ）求直线𝐵与⊥平面𝐴�所成角的正弦值.

𝐴𝐴�

56．（2018·天津·高考真题）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M

为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；23

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

57．（2017·浙江·高考真题）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，

CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

（I）证明：CE∥平面PAB；

（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值

58．（2016·四川·高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为

1

2

棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.∠∠

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

59．（2016·浙江·高考真题）如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，

BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

60．（2017·上海·高考真题）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分

别为4和2，侧棱的长为5.𝐴�−�1�1�1

（1）求三棱柱