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文档简介

定理3 2 罗尔定理 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 使得 3 2罗尔中值定理及其应用 证 若函数f x 满足 必有最大值M和最小值m 由费尔马引理 推论 可微函数的任意两个零点之间至少有的一个零点 1 定理条件不全具备 结论不一定成立 罗尔定理 1 2 3 使得 1 2 满足 3 不满足 结论不成立 1 3 满足 2 不满足 结论不成立 1 2 满足 3 不满足 结论成立 注 例1 解 所以满足罗尔定理条件 1 验证定理的假设条件满足 2 结论正确 有实根 例2设常数满足 试证方程 分析 注意到 在 0 1 内至少存在一个实根 证设 且 由罗尔定理 即 在 0 1 内可导 例3 证 由零点定理 即方程有小于1的正实根 1 存在性 2 唯一性 例3 证 2 唯一性 矛盾 故假设不真 在 0 1 上二阶可导 且 则在内至少存在一点 例4若 证 使得 使得 上使用罗尔定理 使得 使用罗尔定理 两种常用的构造辅助函数的方法 1 常数k法构造函数 基本思路是令待证等式中的常数为k 通过 恒等变形将含有的式子写成的形式 然后用罗尔定理 则就是需要的辅助函数 进行证明 例5设 分析 证 令 罗尔定理 整理得 使得 故 即 2 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数 然后再观察所得函数是哪个函数的导数 这个函数就是我们需要的辅助函数 因为等式中出现的中值一定是对某个函数使用中值定理得到的 因此 可以首先把还原为x 如果待证等式出现的形式 则可以考虑形如的辅助函数 问题转化为证
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