第六章反函数、对数函数、反三角函数§6.1反函数及其图象的一般讨论.doc

第六章反函数对数函数反三角函数 函数使自变量与因变量建立了对应关系，研究中通常由自变量值求因变量的对应值、即函数值但在某些情况，会有相反的要求：由函数值求与之对应的自变量的值从函数的观点来看，似乎对应关系反过来了：原来的因变量变成了自变量，原来的自变量反而成为对应的因变量这种反过来的对应，就是你在本章所要学习的反函数当然，这里将要解决一系列的问题：任意一个函数，能否必定可以建立这种相反的对应关系？什么条件下可以建立？相反的对应关系，用数学式怎样表示它？与原来的函数表示式之间有什么关系？如何从原来的函数表示式求出它？这些就是你在本章要学习的具体内容某些基本初等函数，如指数函数、三角函数等，有没有相反的对应关系？如有的话，它们又有些什么性质？这些问题构成了本章中的对数函数和反三角函数，也是你要重点掌握的核心内容6.1反函数及其图象的一般讨论预备知识函数的概念作一点关于直线的对称点重点反函数的概念反函数的求法反函数的图象与原来函数图象的关系难点反函数的概念函数存在反函数的条件学习要求了解反函数的概念掌握简单反函数的求法了解互为反函数的两个函数图象之间的关系理解反函数存在的条件 本节将应用函数的概念，介绍什么叫一个函数的反函数，函数与反函数的图象之间有什么联系 1.反函数的概念x2010图6-1 (1)实例 我们用下面的实际例子，介绍什么叫反函数往底面积为25pcm2(即底面直径为10cm)、高为20cm的圆柱形容器内注水(见图6-1)注入水的体积y随着注入水高度x的变化而变化，x到y的对应法则可以用式子表示为 y=25px,x0,20 (1)y是x的函数称x为自变量，y为因变量，定义域为D=0,20，值域为M=yy=25px，x0,20=0,500p对于函数(1)，问题的提法是：根据注入水的高度，求注入水的体积，即给出一个x，求对应的y 现在我们反过来提问题：注入水的体积y为50cm3时，注入水的高度x是多少？即已知因变量的值(即函数值)y，求与之对应的自变量x的值因此这里要反映的是y到x的对应法则你不难得出，这个对应法则是 x=y，y0,500p (2)这是一个值域为0,20的新函数，对于0, 500p内的任意一个y值，在0,20中都有唯一一个x值与之对应这个函数的特点是：对应法则与原来的函数相反；原来的自变量x变成了因变量，原来的因变量y变成了自变量；原来的值域M变成了定义域D，原来的定义域D变成了值域M (2)一般情况下反函数的定义 把上面的例子推广到一般情况 设函数y=f(x)的定义域是D，值域是M若对M中的每个y，在D中有唯一一个x与之对应，使f(x)=y，则称y=f(x)存在反函数，并把这个反函数称为y=f(x)的反函数，用记号x=f - 1(y)表示，它的定义域为M，值域为D 因为你已经习惯于用x表示自变量，y表示因变量，所以我们把x=f -1(y)又改写成y=f -1(x)注意函数的本质只是反映两个变量之间的一种对应法则，至于这两个变量用什么记号表示是无所谓的，所以以y=f -1(x)来表示y=f(x)的反函数是没有问题的为了便于区分，不妨称x=f -1(y)为直接反函数，称y=f 1(x)，xM (6-1-1)为常规反函数 以后除了在特殊场合，讲到反函数，我们总是指常规反函数如前面的实例中，函数(1)的直接反函数是(2)，而(常规)反函数则是 y=x，x0,500p (3)图6-2DMxyyxff -1MDf -1xMyDf -1y换为xx换为y 函数与反函数的映象关系及其转换过程，可以直观地表示成如图6-2 函数与反函数是成对互反的，即函数y=f(x)反函数的反函数就是函数自身用前面实例来看，这种关系其实是很直观的例如反函数(3)的对应法则f 1，是把水体积对应为水高度；而(3) 的反函数又把水高度对应为水体积，这种对(6-1-5)应正好就是f 2. 反函数的求法 若函数y=f(x)的f(x)，是x的一个解析式，则只要求得值域M，从y=f(x)中解出x(即用y的解析式表示x)，再对调x,y，并标明定义域为M，就是所求的反函数 例1求函数y=2x-1的反函数 解由y=2x-1得 x=(y+1)，y(-,+)，对调x,y，得所求反函数是y=(x+1)， x(-,+) 例2求下列函数的反函数： (1)y=x3； (2)y=4x 2, (x0) 解(1)由y=x3得x=，y(-,+)对调x,y，得所求反函数是y=，x(-,+) (2)由y=4x 2x，因为x0，所以得x=，x0,+)对调x,y，得所求反函数是 y=，x0,+) 例3求下列函数的反函数： (1)y=, x0,+)； (2)y=, x1 解(1)由 y=, x0,+)得x=y2, y0,+)，对调x,y，得所求反函数是y=x2，x0,+) 注意，从反函数表示式y=x2看，x可以小于0，但因为它是函数y=的反函数，而后者的值域是0,+)，因此反函数的定义域只能是0,+)yOxy=12y=图6-3 (2)因为y=2，它的值域是(-,2)(2,+)事实上 =2+，在第五章中我们已经知道，在定位点(1,2)处作y=的图像，处就是y=的图像(见图6-3)，从图中立即可知值域是(-,2)(2,+) 从y=解出x，得到x=，y2 (即y(-,2)(2,+)，对调x,y，得所求反函数是y=，x2 ( 即x(-,2)(2,+) 例3告诉我们：即使原来函数是在自然定义域上考虑的，反函数的定义域仍然有两种可能：有时就是它的自然定义域(如(2)，有时却不是(如(1)因此为了确定反函数的定义域，还是应该先求出原来函数的值域，把它作为反函数的定义域，这是比较可靠的方法课内练习11.求出下列各函数的反函数： (1)y=2x； (2)y=(x-3)； (3)y=x2, (x0)； (4)y=8x3； (5)y=； (6)y=, (x-1)； (7)y=xOy图6-4250py=x500p20y=25px(x=y)y=x500p20 3. 反函数的图象 在同一个坐标系中画出函数(1)、它的直接反函数(2)及常规反函数(3)的图象(见图6-4)，你可以看到，直接反函数x=y的图象与原来函数y=25px的图象是相同的；对调x,y后的常规反函数y=x的图象，图6-6xyy=f(x)y=f -1(x)Oy=xxyyx图6-5xy(y,x)Oy=xxyyx(x, y)与y=25px的图象是关于直线y=x对称的(见图6-4)究其原因，是因为原来函数图象上的点(x,y)，在常规反函数图象上成了点(y,x)，而点(x,y), (y,x)是关于直线y=x对称的(见图6-5)在一般情况下，根据直接反函数、常规反函数的含义，这个结论仍然是正确的(见图6-6) 因此函数图象与反函数图象的关系是：y=f(x)的图形与它的直接反函数x=f-1(y)的图形相同；与常规反函数y=f1(x)的图象关于直线y=x对称 这样，若已知原来函数y=f(x)的图象是曲线l，想作出常规反函数y=f-1(x)的图象，就成为怎么作出一条曲线l关于直线y=x的对称图象的问题了 你可以有两种方法来解决这个问题第一种，先在l上选择几个特征点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),.，把这些特征点的纵、横坐标互换，得到点xyCABCBAll图6-7O ,.，作出点, . 后，再用描点法顺次光滑连接, 即得到l关于直线y=x的对称曲线 第二种，在l上选择一些点，过这些点向直线y=x作垂线，并延长使两侧线段相等，即得这些点关于直线y=x的对称点，然后再用描点法光滑连接，即得到l关于直线y=x的对称曲线图6-7示意了这两种方法例4作函数y=x2, (x0)的反函数的图象图6-8yy=OxB22y=x9/41/43/21/2ACCA y=x的By=x2 解y=x2, (x0)的反函数为 y=, x0作出y= x2 在x0部分(即y轴右侧)的图象 取四个特征点O(0,0), A(,), B (1,1),C (,)，作出它们的关于y=x的对称点O(0,0),A(,),B(1,1), C(,)，在x0部分(即y轴右侧)光滑连接这三点和原点，即得反函数y=的图象(见图6-8) 例5作函数y=，x1的反函数的图象图6-9x4yo4-4-48 解在例3的(2)中已经求得反函数为 y=，x2而 y=2+，作出了y=2+图像如图6-3 (在图6-9中用虚线表示) 应用作y=x对称曲线的第二种方法，作出反函数的图象如图6-9中粗实线(选了五个点作对称组) (2,)第(3)题图xyO12-1-2123(,2)(1,0)课内练习2(1)求下列各点关于直线y=x的对称点的坐标：A(1,2), B(-2,-3), C(0,2), D(-1,0)(2)作出函数y=4x2(x0)的反函数的图象(3)已知函数y=f(x)的图象如图所示，作 出反函数y=f 1(x)的图象 *4. 反函数存在性讨论是否每个函数都存在反函数呢？回忆一下，如果说函数y=f(x)存在反函数，则对每个yM，必须有唯一一个xD，使y=f(x)此即说，函数y=f(x)存在反函数的必要条件，是映射 f：DM (4)是一个一一映射；反之，若映射(4)是一一对应的，则对每个yM，确实有唯一一个xD，使y=f(x)此即说映射(1)是一一映射，又是y=f(x)存在反函数的充分条件由此可得结论： 定义域为D、值域为M的函数y=f(x)，存在反函数y=f-1(x)的充分必要条件是，映射(1)是一一映射 违背了这个条件的函数，就不可能存在反函数了例如函数y=x2，定义域D=R，值域M=0,+)如果从中解出x，则得x=, (y0)因此对每个y0，有两个xD都能使y=x2成立这就违反了存在反函数的充分必要条件因此y=x2,(xR)的反函数是不存在的我们从映射的角度来分析一下画出y=x2的映射示意图(见图图6-10Dx-xyMf(f: xx2)6-10)，你立即可以发现，如果x的像是y (y=x2)，那么-x的像也是同一个y (y=(-x)2=x2)，因此这个映射不是一一的 我们来研究一下，非一一映射的函数图6-11(1)xyx2x1y=f(x)Oy*的图象有什么特征因为不同的原像x，它们的像可以有相同的像，也就是说，存在不同的x，它们对应于相同的函数值例如x1x2，但f(x1)=f(x2)=y*，因此，平行于x轴的直线y=y*与函数图象至少交于横坐标分别是x1,x2的两个点(见图6-11(1)；反之，若函数的图象与一条平行于x轴的直线的交点多于一个，那么映射也必定不是“一一”的于是我们可以得到存在反函数的第二充分必要条件：图6-11(2)xyx-xy=x 2Oy 函数y=f(x)存在反函数的充分必要条件是，函数的图象与任何平行于x轴的直线，至多有一个交点. 图6-11(2)是函数y=x2的图象，你可以发现，在x轴上方(y0)的平行于x轴的直线，与图象有两个交点，因此它不存在反函数 单调函数一定满足第二充分必要条件(见图6-12)即在定义域D上单调上升或下图6-12xyO降函数存在反函数例6y=x 3, xR是否存在反函数？ 解函数y=x 3在定义域R上单调上升，因此存在反函数 y=, xR 例7有五个函数，它们的图象如下试判断哪些函数存在反函数？为什么？xyOxyOxyO (1) (2) (3)xyOxyO (4) (5) 解(1)反函数存在，因为函数单调上升； (2)反函数不存在，因为平行于x轴的直线与函数图象可能有两个交点； (3)因为平行于y轴的直线与图象可能有两个交点，所以因此题目有误； (4)反函数存在，因为平行于x轴的直线，与函数图象只交于一点； (5)反函数不存在，因为平行于x轴直线线，与函数图象可能有多于一个交点 课内练习31函数y=, xR是否存在反函数？为什么？2函数y=, xx|xR,x 0是否存在反函数？为什么？3从下列函数的图象，判定哪些函数存在反函数？为什么？xyOxyOxyO (1) (2) (3)xyOxyO (4) (5)课外习题A组1. 求下列函数的反函数： (1)y=x-6； (2)