自动控制 宋乐鹏 第三章.ppt

自动控制原理 第三章时域分析法 第3章时域分析法 3 1控制系统的典型输入信号3 2线性系统的稳定性分析3 3代数稳定判据3 4稳态误差分析与计算3 5复合控制系统的稳态误差3 6控制系统的动态响应及3 7二阶系统的动态响应分析3 8二阶系统的动态响应分析3 9二阶系统性能的改善3 10高阶系统的动态分析3 11控制系统时域分析的MATLAB应用 3 1控制系统的典型输入信号 3 1 1阶跃函数信号 3 1 2斜坡函数信号 3 1 3抛物线函数信号 3 1 4脉冲函数信号 3 1 3抛物线函数信号 3 2线性系统的稳定性分析 3 2 1稳定的基本概念 设线性定常系统处于某一平衡状态 在外作用 例如系统有扰动作用 下 系统离开原来的平衡状态 在外作用消失后 经过足够长的时间它又能够回到原来的平衡状态 则称这样的系统是稳定的系统 否则为不稳定的系统 稳定系统举例说明如下 3 2 2线性系统稳定的充分必要条件 设系统微分方程为 式中 n m c t 为输出 r t 为扰动输入 a0 an b0 bn为常系数 由于单位脉冲函数的拉氏变换为1 所以系统单位脉冲响应的拉氏变换为 实根情况下系统的稳定性 共轭复根情况下系统的稳定性 稳定 共轭复根情况下系统的稳定性 临界稳定 共轭复根情况下系统的稳定性 不稳定 对一阶系统而言 其系统的闭环传递函数为 特征方程为 s p 所以当a0 0 a1 0时系统是稳定的 对二阶系统而言 系统的特征方程为 特征根为 所以当a0 0 a1 0 a2 0时系统稳定 结论 对于一阶系统和二阶系统 特征方程的系数都大于零是系统稳定的充分必要条件 s平面上根的位置与稳定性 3 3代数稳定判据 3 3 1劳斯判据 设线性系统的特征方程为 上式中所有系数都存在 并且均大于0 这是系统稳定的必要条件 首先 制作劳斯表 1 特征方程式全部根在s平面左侧的充分必要条件是 特征方程式各项系数都为正值 劳斯表中第一列系数都为正值 2 若劳斯表第一列系数有符号改变 则有右侧根 正根 出现 右侧根的个数等于符号改变的次数 例3 1 已知系统的特征方程为 解 试用劳斯表判断该系统的稳定性 若不稳定 则指出有半平面特征根的个数 简化计算 特征方程各项系数虽为正 但劳斯表第一列系数不全为正 故有右侧根 正根 系统不稳定 第一列系数符号有两次改变 故有两个正根 例3 2 三阶系数的特征方程为A s a0s3 a1s2 a2s a3 0 判断其稳定性 解 由劳斯定理知 特征方程式各项系数都为正值 有a0 0 a1 0 a2 0 a3 0 劳斯表中第一列系数都为正值有a1a2 a0a3 0或a1a2 a0a3 例3 3 判定A s s4 3s3 s2 3s 1 0是否稳定 解 现在考察劳斯表第一列中各项数值 当e趋近于零时 的值是一很大的负值 因此可以认为第一列中各项数值的符号改变了两次 由劳斯判据得 该系统有两个极点具有正实部 系统是不稳定的 例3 4 已知系统的特征方程为 解 试用劳斯表判断该系统的稳定性 若不稳定 则指出特征根在复平面上的分布情况 A s s4 6s2 8 辅助方程是 有纯虚根存在 则系统临界稳定 左半平面有2个根 虚轴上有4个根 右半平面没有根 例3 5 若系统特征方程为 试用劳斯表判断该系统的稳定性 若不稳定 则指出特征根在复平面上的分布情况 解 A s 2s4 8 0 辅助方程是 由辅助方程可以看出 有4个根对称于坐标原点 s3 s0各行的第一列元素符号改变了两次 说明4个对称于原点的根中 右半平面有2个 左半平面有2个 由于s6 s4各行的第一列元素符号均为正 故其余两个根在左半平面 因此 该系统不稳定 左半平面有4个根 右半平面有2个根 虚轴上无根 3 3 2用代数稳定判据分析系统时的应用 1 确定闭环系统稳定时其参数的取值范围 例3 6 确定图3 12所示系统稳定时放大倍数K的取值范围 解 可用例3 2的结论确定K值范围 特征式各系统为正 a0 0 a1 0 a2 0 K 0 三阶系统中特征方程系数两内项的积大于两外项的积 即 得K 14 所以0 K 14时 系统稳定 其稳定的临界放大倍数KL 14 2 确定系统的稳定裕量 设特征方程的根与虚轴的距离至少为 把原s平面的虚轴左移 得到新的平面s1 则有 s s1 用s1取代特征方程中的s 即得s1平面上的特征方程A s1 0 则可以在s1平面上应用劳斯判据 例3 8 在例3 6中 若要求系统特征根全部位于s 1的左边 试求K的取值范围 解 系统的特征方程为 将s s1 1代入上式 得 3 4稳态误差分析与计算 3 4 1误差及稳态误差的定义 1 误差的概念 系统误差定义为被控量要求达到的值 或称期望值 和实际值之差 1 从输入端定义 从输入端定义 把系统的输入信号r t 作为被控量的期望值 把反馈信号b t 作为被控量的实际值 把两者之间所产生的偏差信号定义为误差e t 即 2 从输出端定义 从输出端定义 把被控量的期望值cr t 与实际值c t 之差定义为误差e t 即 在单位反馈系统中 H s 1 两个定义可以统一 即有 2 稳态误差的概念 误差信号的稳态分量为稳态误差 其公式为 解 1 给定输入r t 作用下 d t 0 误差传递函数Eer s 为 例3 9 在图3 16中 1 时系统的稳态误差 2 时系统的稳态误差 试求 扰动输入d t 作用下 r t 0 误差传递函数Eed s 为 2 给定输入r t 作用下 d t 0 误差传递函数Eer s 为 3 4 2给定输入下的稳态误差 求给定输入下的稳态误差时 不计扰动信号D s 0 按图3 16所示的方框图 传递函数为 式中 K为开环增益 v为串联积分环节的个数 或称系统的无差度 它表征了系统的结构特征 工程上一般规定 v 0为0型系统 v 1为 型系统 v 2为 型系统 v越高则稳态精度越高 但稳定性越差 因此一般不超过 型 1 输入为阶跃信号 0型系统 型系统 型系统 2 输入为斜坡信号 0型系统 型系统 型系统 2 输入为斜坡信号 0型系统 型系统 型系统 例3 10 求图3 17 a 所示系统的ess 输入 解 1 首先判断系统是否稳定 不稳定则无ess可求 为 二阶系统只需满足各项系数大于零则该系统稳定 2 按给定作用下稳态误差的要求 应将系统变成单反馈系统再求 变换后如图3 17 b 所示 传递函数为 3 4 3扰动的稳态误差 R s 0 只有扰动信号D s 由图3 16得扰动误差的传递函数为 例3 10 图3 18所示的两个系统具有相同的开环传递函数G s 对给定输入将有相同的稳态误差 但扰动作用点不同 其扰动稳态误差将不同 设系统突加扰动 D s 1 s 分析图3 18 a 和图3 18 b 各自的扰动稳态误差大小 解 根据扰动误差的定义可求得图3 18 a 所示系统的扰动稳态误差为 例3 10 图3 19所示为某单位负反馈系统的结构图 已知输入r t t 干扰d t 2 试求该系统的扰动稳态误差大小 解 1 首先判断系统是否稳定 不稳定则无ess可求 该系统的误差传递函数为 三阶系统各项系数为正 且 系统稳定 2 d t 作用下的稳态误差为 3 r t 作用下的稳态误差为 4 总的稳态误差为 3 5复合控制系统的稳态误差 3 5 1引入给定补偿 由图3 20所示的闭环系统中 为了减小给定作用的稳态误差 从输入端通过Gc s 引入给定补偿 使系统构成复合控制系统 这种系统又称为顺馈系统 3 5 2引入扰动补偿 如果控制系统的干扰是可以测量的 这时可以利用扰动产生补偿作用来减小扰动的稳态误差 这种复合控制系统又称为前馈系统 R s 0E s R s C s C s 3 6控制系统的动态响应及其性能指标 稳态系统的阶跃响应有衰减振荡和单调变化两种类型 如图3 22所示 其常用性能指标如下 1 上升时间tr 对具有衰减振荡的响应 上升时间tr指单位阶跃响应由零值上升到第一个稳态值所需的时间 2 峰值时间tp 峰值时间tp指单位阶跃响应从0到第一个峰值所需的时间 3 调节时间 或称过渡时间 ts 调节时间ts指单位阶跃响应C t 与稳态值C 之间的偏差达到规定的允许范围 一般取为DC C t C 2 或5 的C 值 称为允许误差带 且以后不再超过此范围所需的最小时间 它表示了系统的快速性 4 最大超调量 简称超调量 超调量 指单位阶跃响应的最大值超过稳态值的百分比 5 延迟时间td 延迟时间td指单位阶跃响应达到其终值的一半所需的时间 6 振荡次数N 振荡次数N指在调节时间ts内穿越稳态值C 次数的一半 表示振荡的激烈程度 3 7一阶系统的动态响应分析 3 7 1典型一阶系统的单位阶跃响应 1 超调量 2 上升时间tr 3 调节时间ts 例3 10 某单位负反馈系统的结构图如图3 25所示 已知输入r t 1 t 求上升时间 调节时间 超调量 解 该系统的闭环传递函数为 T 3 3 7 2典型一阶系统的其他响应 1 单位斜坡响应 2 单位脉冲响应 3 8二阶系统的动态响应分析 3 8 1典型二阶系统的单位阶跃响应 s2 2 ns 2n 0 3 当 1 系统有两个相等负实根 称为临界阻尼状态 该阻尼系数下的二阶系统单位阶跃响应无震荡 1 当 0 系统有一对共轭纯虚根 系统的单位阶跃响应为等幅震荡 称为无阻尼状态 2 当0 1 系统有一对位于左半平面的共轭复根 系统的单位阶跃响应为衰减震荡 称为欠阻尼状态 4 当 1 系统有两个不相等的负实根 称为过阻尼状态 该阻尼系数下的二阶系统单位阶跃响应无震荡 1 0 无阻尼情况 C t L 1 C s 1 cos ntt 0 2 0 1 欠阻尼情况 3 1 临界阻尼的情况 4 1 过阻尼的情况 5 结论 1 系统无阻尼 0 时 其响应为等幅振荡 系统没有稳态 2 系统欠阻尼 0 1 时 上升时间 调节时间都比较快 有一定超调量 如果选择合理阻尼比 系统有可能达到超调量小 调节时间短的效果 因此这种欠阻尼状态为工程中讨论的主要情况 3 系统过阻尼 1 时 其响应没有超调量 但响应时间比欠阻尼要长 4 系统过阻尼 1 时 其调节时间最长 但系统没有超调量 3 8 2二阶系统性能指标与系统参数的关系 1 性能指标 a 在0 1时 响应为衰减振荡曲线 其性能指标可以计算如下 1 上升时间tr sin dt 0 2 峰值时间tp 3 最大超调量 4 调节时间ts 5 振荡次数N N 例3 14 单位负反馈系统的开环传递函数为 试求闭环系统单位阶跃响应的性能指标上升时间tr 峰值时间tp 调节时间ts 超调量 解 该系统的闭环传递函数为 例3 15 某随动系统结构图如图3 29所示 其中K 4 T 1s 求 1 系统的单位阶跃响应 2 系统的超调量及调节时间ts 3 要求设计成二阶最佳 应如何改变K值 解 该系统的闭环传递函数为 1 系统的单位阶跃响应为 2 系统的超调量及调节时间为 3 若设计 其中T 1s则K 0 5 此时 2 二阶系统的其他响应 1 单位斜坡响应 2 系统临界阻尼 1 时 响应为 1 系统欠阻尼 0 1 时 响应为 3 系统过阻尼 1 时 响应为 2 单位脉冲响应 1 系统欠阻尼 0 1 时 响应为 2 系统临界阻尼 1 时 响应为 3 系统过阻尼 1 时 响应为 3 9二阶系统性能的改善 3 9 1引入输出量的速度负反馈控制 3 9 2引入误差信号的比例微分控制 在输入单位阶跃信号时有 当0 1时 3 10高阶系统的动态分析 1 当系统闭环极点全部在s平面的左边时 其特征根有负实根及复根有负实部 第二 三两项均为衰减 因此系统总是稳定的 各分量衰减的快慢 取决于极点离虚轴的距离 当Pj k nk愈大 即离虚轴愈远时 衰减愈快 2 各系数Aj Dk及各分量的幅值 不仅与极点位置而且与零点位置有关 如果极点Pj远离原点 则相应的系数Aj将很小 如果某极点pj与一个零点十分靠近 又远离原点及其他极点 则相应系数Aj比较小 如果高阶系统中离虚轴最近的极点 其实部小于其他极点实部的1 5 并且附近不存在零点 可以认为系统的动态响应主要由这一极点决定 称做主导极点 利用主导极点的概念 可将主导极点为共轭复极点的高阶系统降阶近似作二阶系统处理 例如在带零点的二阶系统中 当a 5时可将它当做典型二阶系统处理 3 11控制系统时域分析的MATLAB应用 3 11 1线性系统的MATLAB表示 num 0004 注意 必要时需补加数字零den 1234 3 11 2单位阶跃响应 num 0004 den 1234 step num den 输出响应曲线grid 加网格 3 11 3单位脉冲响应 impu