2019年高考数学压轴题专题16数列中项数问题(原卷版).pdf

专题 16 数列中项数问题 数列中项数问题 不仅是存在性问题 而且是整数解问题 会利用整除性质 奇偶分析法 范围 控制解决 常用到分类讨论思想 类型一整数解问题 典例 1 已知集合 对于数列 且对于任意 有 记为数列的前项和 写出 的值 数列 中 对于任意 存在 使 求数列 的通项公式 数列中 对于任意 存在 有 求使得成立的的最 小值 类型二存在性问题 典例 2 已知数列 an 中 a2 1 前n项和为Sn 且 1 2 n n n aa S 1 求a1 2 证明数列 an 为等差数列 并写出其通项公式 3 设 1 lg 3 n n n a b 试问是否存在正整数p q 其中 1 p q 使b1 bp bq成等比数列 若存在 求 出所有满足条件的数组 p q 若不存在 说明理由 类型三否定性问题 典例 3 等差数列 n a的前n项和为 13 1293 2 n SaS 1 求数列 n a的通项 n a与前n项和 n S 2 设 n n S bn n N 求证 数列 n b中任意不同的三项都不可能成为等比数列 1 1 公差 d 0 的等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2 2 S3 12 32 1 求数列 an 的通项公式an及其前n项和Sn 2 记cn S n n 试问 在数列 cn 中是否存在三项cr cs ct r s t r s t N 恰好成等比数列 若存在 求出此三项 若不存在 请说明理由 2 已知各项均为正数的等比数列的公比为 且 在数列中是否存在三项 使其成 等差数列 说明理由 3 设 n n c2 试问数列 n c中是否存在三项 它们可以构成等差数列 若存在 求出这三项 若不存 在 说明理由 4 已知数列 n a满足 1 1 1 3 1 2 1 1 211 nn nn aa a aa 1 0 1 nn a an 数列 n b满足 22 1 1 nnn baan 1 求数列 n a n b的通项公式 2 证明 数列 n b中的任意三项不可能成等差数列 5 已知等比数列 n a的首项是1 公比为2 等差数列 n b的首项是1 公差为1 把 n b中的各项按 照如下规则依次插入到 n a的每相邻两项之间 构成新数列 n c 1122334 a b a b b a b 564 b ba 即在 n a和 1n a 两项之间依次插入 n b中n个项 则 2013 c 6 设等差数列的前项和为且 1 求数列的通项公式及前项和公式 2 设数列的通项公式为 问 是否存在正整数t 使得 成等差数列 若存在 求出t 和 m的值 若不存在 请说明理由 7 设 n a是公差不为零的等差数列 n S为其前项和 且 2222 23457 7aaaaS 1 求数列 n a的通项公式及前项和 n S 2 试求所有的正整数m 使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项 8 若 或 则称 为和 的一个位排列 对于 将排列 记为 将排列记为 依此类推 直至 对于 n aq 1 0 2 q n a n a n n S 5133 349aaS n an n b n n n a b at 12m bbb 3 mmN n n 2 排列和 它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数 叫做 和的相关值 记作 例如 则 若 则称为最佳排列 写出所有的最佳排列 证明 不存在最佳排列 若某个 是正整数 为最佳排列 求排列中的个数 9 设数列 的前n项和为 已知 1 求证 数列为等比数列 2 若数列满足 求数列 的通项公式 是否存在正整数n 使得成立 若存在 求出所有n的值 若不存在 请说明理由 10 已知数列的前项和为 1 求数列 的通项公式 2 令 求数列的前项和 3 令 问是否存在正整数使得成等差数列 若存在 求出的 值 若不存在 请说明理由 11 数列 满足 或 1 k 1 2 n 1 对任意 i j 都存在s t 使得 其中 i j s t 1 2 n 且两两不相等 I 若 m 2 写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 II 记 若 m 3 求 S的最小值 III 若 m 2018 求 n 的最小值 12 已知等差数列 an 和等比数列 bn 均不是常数列 若 a1 b1 1 且 a1 2a2 4a4成等比数列 4b2 2b3 b4成等差数列 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 设 m n 是正整数 若存在正整数i j k i j k 使得 ambj amanbi anbk成等差数列 求m n 的最小值 3 令 cn 记 cn 的前 n 项和为 Tn 的前 n项和为 An 若数列 pn 满足 p1 c1 且对n 2 n N 都有 pn Ancn 设 pn 的前 n项和为 Sn 求证 Sn 4 4lnn 13 已知数列满足 是数列的前项的和 1 求数列 的通项公式 2 若 成等差数列 18 成等比数列 求正整数的值 3 3 是否存在 使得为数列中的项 若存在 求出所有满足条件的的值 若不存在 请说明理由 14 由 排列而成的项数列 满足 每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有 项 满足条件的数列中 写出所有的单调数列 当时 写出所有满足条件的数列 满足条件的数列的个数是多少 并证明你的结论 15 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1nn SpSq p q为常数 nN 又 1 2a 2 1a 3 3aqp 1 求p q的值 2 求数列 n a的通项公式 3 是否存在正整数m n 使 1 2 21 m n m n Sm Sm 成立 若存在 求出所有符合条件的有序实数对 m n 若不存在 说明理由 16 已知数列 an 的各项均为正数 记数列 an 的前n项和为Sn 数列 an 2 的前 n项和为Tn 且 3Tn Sn 2 2S n n N 求a1的值 求数列 an 的通项公式 若k t N 且S1 Sk S1 St Sk成等比数列 求k和t的值 17 数列 n a定义为 1 0a 11 aa 2 1 1 2 nnn aaa nN 1 若 1 0 12 a aa a 求 1210 111 222aaa 的值 2 当0a时 定义数列 n b 1 12 k bak 1 112 nn bb 是否存在正整数 i j ij 使得 21 121 2 ij bbaaa 如果存在 求出一组 i j 如果不存在 说明理由 18 设数列 n a的前n项和为 n S 1 1a 31 nn Snan n nN 1 求数列 n a的通项公式 n a 2 是否存在正整数n 使得 2 312 3 12016 1232 n SSSS n n 若存在 求出n值 若不 存在 说明理由 19 记等差数列 n a的前n项和为 n S 4 1 求证 数列 n S n 是等差数列 2 若 1 1a 对任意 2nNn 均有 11 nnn SSS 是公差为1的等差数列 求使 12 2 kk k SS S 为整数的正整数k的取值集