高考数学椭圆选填题中常考的8个神奇结论(PDF).pdf

数学思想数学思想 高中数学 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 1 高考椭圆选填题中常考的高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论个神奇结论 名师综述 名师综述 在高考中 圆锥曲线肯定要出一至两道小题 难度在中等偏上 所以 为了 节省时间 记住一些重要的结论 到时候就可以直接用了 下面小数老师给大家带来 8 条 出题率最高的结论 一定要记住哦 典例剖析 典例剖析 例题例题 1 1 椭圆 1 上存在 n个不同的点 P1 P2 Pn 椭圆的右焦点为 F 数列 PnF 是公差大于的等差数列 则 n的最大值是 A 16 B 15 C 14 D 13 神奇结论神奇结论 1 1 椭圆上的点与焦点距离的最大值为ac 最小值为ac 推导推导 首先 我们需要了解一下椭圆的第二定义 平面上的一点到定点的距离与到相 应定直线的距离之比为常数 这里面涉及到几个特殊的概念 定点 椭圆的焦点 定直线 椭圆的准线 方程为 2 a x c 常数 离心率 由两点间距离公式 可知 22 1 PFxcy 1 从椭圆方程 22 22 1 xy ab 解出 2 222 2 b yax a 2 代 2 于 1 并化简 得 1 c PFaxaxa a 所以 由上面的焦半径公式可知 当P点在左端点的时候值最小为ac 当P点在右端点的时候值最大为ac 数学思想数学思想 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高中数学 高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论 个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 2 分析 PnF min a c PnF max a c 3 PnF P1F n 1 d 再由 数列 PnF 是公差大于的等差数列 可求出 n的最大值 解答 解 PnF min a c PnF max a c 3 PnF P1F n 1 d 数列 PnF 是公差 d 大于的等差数列 d 解得 n 10 1 则 n 的最大值为 15 故选 B 典例剖析 典例剖析 神奇结论神奇结论 2 2 直线l与椭圆 22 22 1 xy ab 相交于 A B两点 M为AB的中点 则 2 2 ABOM b kk a 推导推导 我们利用 点差法 进行推导 记 1122 A x yB xy 00 M xy 将这两点带入椭圆中可得 22 11 22 22 22 22 1 1 1 2 xy ab xy ab 1 2 可得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 012012 22 2 2 0 x xxyyy ab 所以 2 012 2 120 yyyb xxxa 所以 2 2 ABOM b kk a 成立 数学思想数学思想 高中数学 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 3 例题例题 2 2 已知椭圆 E 的右焦点为 F 3 0 过点 F的直线交椭圆 E于 A B两点 若 AB的中点坐标为 1 1 则 E 的方程为 A B C D 解法一解法一 基本基本解题法解题法 分析 设 A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆方程得 利用 点差法 可得 利用中点坐标公式可得 x1 x2 2 y1 y2 2 利用斜率计算 公式可得 于是得到 化为 a2 2b2 再利用 c 3 即可解得 a2 b2 进而得到椭圆的方程 解答 解 设 A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆方程得 相减得 数学思想数学思想 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高中数学 高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论 个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 4 x1 x2 2 y1 y2 2 化为 a2 2b2 又 c 3 解得 a2 18 b2 9 椭圆 E的方程为 故选 D 解法二解法二 结论结论解题解题法法 典例剖析 典例剖析 例题例题 3 3 椭圆 C 1 的左 右顶点分别为 A1 A2 点 P在 C 上且直线 PA2的斜率的 取值范围是 2 1 那么直线 PA1斜率的取值范围是 A B C D 神奇结论神奇结论 3 3 在椭圆 22 22 1 xy ab 中 若MN是过中心的一条弦 P是椭圆上异于 M N的一点 则有 2 2 PMPN b kk a 推导推导 令 11 M x y 11 N xy 00 P xy 所以 22 010101 22 010101 PMPN yyyyyy kk xxxxxx 又因为 2 222 00 2 b yax a 2 222 11 2 b yax a 代入 中 整理可得 2 2 PMPN b kk a 数学思想数学思想 高中数学 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 5 分析 由题意求 A1 A2的坐标 设出点 P的坐标 代入求斜率 进而求 PA1斜率的取值范 围 解答 解 由椭圆的标准方程可知 左右顶点分别为 A1 2 0 A2 2 0 设点 P a b a 2 则 1 则 将 式代入得 2 1 故选 D 解法二解法二 结论结论解题解题法法 神奇结论神奇结论 4 4 已知椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 两焦点分别为 12 F F设焦点三 角形 12 PFF中 12 FPF 则 2 tan 2 21 bS PFF 已知双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 两焦点分别为 21 FF设焦点三角形 21F PF中 21 PFF则 2 cot 2 21 bS PFF 推导推导 cos2 2 21 2 2 2 1 2 21 2 PFPFPFPFFFc cos1 2 21 2 21 PFPFPFPF cos1 2 cos1 2 44 cos1 2 4 222 22 21 21 bca cPFPF PFPF 2 tan cos1 sin 2 1 2 2 21 21 b b PFPFS PFF 双曲线证明也同样道理 数学思想数学思想 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高中数学 高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论 个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 6 典例剖析 典例剖析 例题例题 4 4 已知 P是椭圆 1上的点 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 若 则 F1PF2的面积为 A 3 B 2 C D 分析 先根据椭圆的方程求得 c 进而求得 F1F2 设 F1P m F2P n 再根据条件求出 F1PF2 60 然后利用余弦定理可求得 mn的值 je 利用三角形面积公式求解 解答 解 由题意可得 a 5 b 3 所以 c 4 即 F1F2 2c 8 设 F1P m F2P n 所以由椭圆的定义可得 m n 10 因为 所以由数量积的公式可得 cos 所以 在 F1PF2中 F1PF2 60 所以由余弦定理可得 64 m2 n2 2mncos60 由 可得 mn 12 所以 故选 A 解法二解法二 结论结论解题解题法法 数学思想数学思想 高中数学 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 7 典例剖析 典例剖析 例题例题 5 5 已知椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 若椭圆上存在点 P使得 F1PF2是钝角 则椭圆离心率的取值范围是 A B C D 分析 当动点 P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时 P对两个焦点的张角 F1PF2渐渐增大 当且仅当 P点位于短轴端点 P0处时 张角 F1PF2达到最大值 由此可 得结论 解答 解 如图 当动点 P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时 P 对两个焦点 的张角 F1PF2渐渐增大 当且仅当 P点位于短轴端点 P0处时 张角 F1PF2达到最大 值 由此可得 椭圆上存在点 P使得 F1PF2是钝角 P0F1F2中 F1P0F2 90 Rt P0OF2中 OP0F2 45 所以 P0O OF2 即 b c 神奇结论神奇结论 5 5 若 F1 F2为椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的左右焦点 P 是椭圆上的动 点 则 F1PF2 则椭圆离心率 e 的取值范围为 sin 2 e 1 推导推导 设 PF m PF n 则 m n 2a 于是 cos mn cnm 2 4 222 mn mncnm 2 24 22 1 2 2 mn b 1 2 2 2 2 nm b 1 2 2 2 a b 我们得到了 cos 1 2 2 2 a b 所以 cos 1 2 2 22 a ca 1 2e 2 e2 2 cos 1 然后根据二倍角公式就可以得到上 面的结论 sin 2 e 1 数学思想数学思想 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高中数学 高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论 个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 8 a2 c2 c2 可得 a2 2c2 e 0 e 1 e 1 故选 B 解法二解法二 结论结论解题解题法法 典例剖析 典例剖析 例题例题 6 6 已知圆的方程为 x2 y2 1 则经过圆上一点 M x0 y0 的切线方程为 x0 x y0 y 1 类比上述性质 可以得到椭圆 x2 4y2 8上经过点的切线方程为 神奇结论神奇结论 6 6 点 00 P xy在椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 上 则过点P的切线方程为 00 22 1 x xy y ab 推导推导 两侧同时求导可得 2 222 22 0 xyyb x y aba y 则 2 0 00 2 0 b x yyxx a y 故 22222222 0000 a y yb x xa yb xa b 所以 切线方程为 00 22 1 x xy y ab 数学思想数学思想 高中数学 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 9 分析 已知圆的方程为 x2 y2 1 则经过圆上一点 M x0 y0 的切线方程为 x0 x y0 y 1 类比上述性质 可以得到 椭圆 mx2 ny2 c m n c同号 且 m n 经过椭圆上一点 M x0 y0 的切线方程为 解答 解 已知圆的方程为 x2 y2 1 则经过圆上一点 M x0 y0 的切线方程为 x0 x y0 y 1 类比上述性质 可以得到 椭圆 mx2 ny2 c m n c同号 且 m n 经过椭圆上一点 M x0 y0 的切线方程为 故椭圆 x2 4y2 8上经过点的切线方程为 2x 4y 8 即 故答案为 解法二解法二 结论结论解题解题法法 典例剖析 典例剖析 例题例题 7 7 已知两定点 A 1 0 B 1 0 若直线 l 上存在点 M 使得 MA MB 3 则 称直线 l 为 M型直线 给出下列直线 x 2 y x 3 y 2x 1 y 1 y 2x 3 其中是 M型直线 的条数为 神奇结论神奇结论 7 7 椭圆 22 22 1 0 0 xy ab ab 与直线0 0 AxByCA B 相切的 充要条件是 22222 A aB bC 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 与直线0 0 AxByCA B 相切的充要条件是 22222 A aB bC 推导推导 给大家推导一下关于椭圆的结论 双曲线的推导雷同 直线变形可得 ACAxC yxy BBB 带入椭圆方程 化简可得 22222222222 20B bA axa ACxa Ca b B 由于只有一个交点 故 422222222222 44 0a A CB ba Aa Ca b B 整理可得 22222 A aB bC 数学思想数学思想 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高中数学 高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论 个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 10 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 点 M的轨迹方程是 把 分别和联立方程 组 如果方程组有解 则这条直线就是 M型直线 解答 解 由题意可知 点 M的轨迹是以 A B为焦点的椭圆 其方程是 把 x 2 代入 无解 x 2不是 M型直线 把 y x 3代入 无解 y x 3不是 M 型直线 把 y 2x 1 代入 有解 y 2x 1 是 M型直线 把 y 1 代入 有解 y 1是 M型直线 y 2x 3代入 有解 y 2x 3是 M型直线 故选 C 解法二解法二 结论结论解题解题法法 数学思想数学思想 高中数学 高中数学 高考椭圆选填题中常考的高考椭圆选填题中常考的 8 8 个神奇结论个神奇结论 数学思想数学思想 高中数学高中数学 11 典例剖析 典例剖析 例题例题 8 8 过点 0 2 P的直线l交椭圆 22 1 42 xy E 于 M N两点 且OMON 则直线l的方程 为 220 xy 或220 xy 神奇结论神奇结论 8 8 直线l与椭圆 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 A B 坐标原点为O O 到直线l的距离为d 则有OAOB 22 ab d ab 推导推导 1 当 OP OQ 在坐标轴上时 显然 2