高考数学必背公式与知识点过关检测.pdf

理解理解公式之间的公式之间的联系联系 区别 变机械记忆为理解记忆 区别 变机械记忆为理解记忆 第 1 页 共 8 页 高考数学必背公式与知识点过关检测高考数学必背公式与知识点过关检测 决胜高考决胜高考 数学基本公式 概念数学基本公式 概念全掌握全掌握 第一部分第一部分 集合集合与常用逻辑用语与常用逻辑用语 1 子集个数 子集个数 含n个元素的集合有 个子集 有 个真子集 有 个非空子集 有 个非空真子集 2 常见数集 常见数集 自然数集 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 3 3 空集 空集 是任何集合的 是任何非空集合的 4 4 元素特点元素特点 确定性 5 5 集合的的运算集合的的运算 集运算 集运算 集运算 6 6 四种命题四种命题 原命题 若p 则q 逆命题 若 则 否命题 若 则 逆否 命题 若 则 原命题与逆命题 否命题与逆否命题互 原命题与否命题 逆命 题与逆否命题互 原命题与逆否命题 否命题与逆命题互为 互为逆否的命题 7 7 充要条件的判断 充要条件的判断 pq p是q的 条件 pq q是p的 条件 pq p q互为 条件 若命题p对应集合A 命题q对应集合B 则pq 等 价于 pq 等价于 注意区分 注意区分 甲是乙的充分条件 甲 乙 与 甲的充分条件是乙 乙 甲 8 8 逻辑 逻辑联结联结词 词 或命题 pq p q有一为真即为 p q均为假时才为 且命题 pq p q均为真时才为 p q有一为假即为 非命题 p 和p为一真一假两个互为对立的命题 9 9 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 全称量词 所有的 任意一个 等 用 表示 全称命题 p xpMx 全称命题 p 的否定 p 存在量词 存在一个 至少有一个 等 用 表示 特称命题 p xpMx 特称命题 p 的否定 p 第第二二部分部分 函数与导数及其应用 函数与导数及其应用 1 函数的定义域 函数的定义域 分母 0 偶次被开方数 0 0 次幂的底数 0 对数函数的真数 0 指数与对数函数的底数 0 且 1 2 2 分段函数 分段函数 值域 最值 单调性 图象等问题 先分段解决 再下结论 分段函数是一个函数 其定义域是各段定义域的 值域是各段值域的 3 函数的单调性 函数的单调性 设 1 x 2 xa b 且 12 xx 那么 1 1212 0 xxf xf x 12 12 0 f xf x f xa b xx 在上是 函数 2 1212 0 xxf xf x 12 12 0 f xf x f xa b xx 在上是 函数 3 如果0 x f 则 xf为 函数 0 x f 则 xf为 函数 4 复合函数的单调性 根据 同 异 来判断原函数在其定义域内的单调性 4 4 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件前提条件 xf是 函数 xfxf xf是 函数 xfxf 奇函数 xf在 0 处有定义 则 在关于原点对称的单调区间内 奇函数有 的单调性 偶函数有 的单调性 偶函数图象关于 轴对称 奇函数图象关于坐标 对称 5 5 函数的周期性 函数的周期性 周期有关的结论 约定 a 0 1 axfxf 则 xf的周期 T 2 xfaxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 则 xf的周期 T 3 axfaxf 或 0 2 axfaxf xf的周期为 4 f xmf xn xf的周期为 6 函数的对称性 函数的对称性 yf x 的图象关于直线 对称 f axf ax 2 faxf x yf x 的图象关于直线 对称 f axf bx f a bxf x yf x 的图象关于点 对称 f axf bx yf x 的图象关于点 2 ab c 对称 2 f axcf bx 你流的汗水会折射出你的光芒 你流的汗水会折射出你的光芒 2 7 7 分数指数幂与根式的性质 分数指数幂与根式的性质 1 m n a 0 am nN 且1n 2 11 m n m nm n a a a 0 am nN 且1n 3 n n aa 4 当n为奇数时 nn aa 当n为偶数时 0 0 nn a a aa a a 8 8 指数性质指数性质 1 p a 2 0 a 0a 3 mn a 4 rs aa 5 m n a 9 9 指数函数指数函数 如右图 1 1 x yaa 在定义域内是单调 函数 2 x ya 在定义域内是单调减函数 注 指数函数图象都恒过定点 10 对数运算规律 对数运算规律 1 对数式与指数式的互化 logaNb 0 1 0 aaN 2 对数恒等式 log 1 a logaa log b aa lg2 lg5 lne 3 对数的运算性质 加法 loglog aa MN 减法 loga M N 数乘 log n aM nR 恒等式 logaN a log m n a b 换底公式 log log log m a m N N a 11 11 对数函数对数函数 如右图 1 log 1 a yx a 在定义域内是单调递增函数 2 log 01 a yxa 在定义域内是单调递减函数 注 对数函数图象都恒过点 1 12 2 反反函数函数 函数 x ya 的反函数是 函数logayx 的反函数是 1 13 3 二次函数 二次函数 二次函数cbxaxy 2 a 0 的图象的对称轴方程是 顶点坐标是 判别式acb4 2 0 时 图像与x轴有 个交点 0 时 图像与x轴有 个交点 0 时 图像与x轴没有交点 1414 韦达定理 韦达定理 若 12 x x是一元二次方程 0 0 2 acbxax的两个根 则 12 xx 12 x x 1 15 5 零点存在定理 若 yf x 在 a b 上满足 则 yf x 在 a b 内至少有一个零点 1 16 6 常见函数的导数公式 C n x nx sin x cosx x e ln x x a logx 1717 导数运算法则 f xg x 1 2 f x g x 1818 曲线的切线方程 曲线的切线方程 函数 xfy 在点 0 x处的导数是曲线 xfy 在 00 xfxP处的切线 的斜率为 0 x f 相应的切线方程是 第第三三部分部分 三角函数 三角恒等变换与解三角形三角函数 三角恒等变换与解三角形 1 角度制与弧度制互化 角度制与弧度制互化 360 rad 180 rad 1 rad 1rad 2 若扇形扇形的圆心角为 为弧度制 半径为r 弧长为l 周长为C 面积为S 则 l C S 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 理解理解公式之间的公式之间的联系联系 区别 变机械记忆为理解记忆 区别 变机械记忆为理解记忆 第 3 页 共 8 页 3 3 三角函数定义式 三角函数定义式 角 终边上任一点 非原点 P yx 设rOP 则 sin cos tan 4 4 同角 同角三角函数的基本关系 三角函数的基本关系 1 平方关系 2 商数关系 3 三角不等式 sincossincosxxxx 与的关系是 若 0 2 x 则sincos1xx 若 2 x 则sincos1xx sin cos 1xx 5 5 函数的诱导公式 函数的诱导公式 口诀 口诀 奇变偶不变 符号看象限奇变偶不变 符号看象限 1 sin 2sink k Z 2 tantan 3 tantan 4 tantan 5 sincos 2 6 cossin 2 6 特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 角 的 弧度数 Sin Cos tan 7 三角函数的图像与性质 三角函数的图像与性质 8 几个常见三角函数的周期 几个常见三角函数的周期 xysin 与xycos 的周期为 sin xy或 cos xy 0 的周期为 2 tan x y 的周期为 xycos 的周期为 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 你流的汗水会折射出你的光芒 你流的汗水会折射出你的光芒 4 9 9 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 1 cos 2 cos 3 sin 4 sin 5 tan 6 tan 10 10 二倍角的正弦 余弦和正切公式 二倍角的正弦 余弦和正切公式 sin2 cos2 tan2 2 cos 降次公式 2 sin sincos 1111 引入辅助角公式 引入辅助角公式 sincosab 其中 辅助角 所在象限由点 a b所在的象限决定 tan b a 12 12 正弦定理 正弦定理 R是ABC 外接圆直径 注 注 CBAcbasin sin sin CRcBRbARasin2 sin2 sin2 CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin 13 余弦定理 余弦定理 逆定理逆定理 以 以 A 角和其对边来表示 角和其对边来表示 14 三角形面积公式 三角形面积公式 ABC S 用边与角的正弦值来表示 用边与角的正弦值来表示 三角形面积导出公式 三角形面积导出公式 ABC S r为ABC 内切圆半径 R外接圆半径 15 15 三角形三角形内切圆半径内切圆半径r 外接圆直径外接圆直径 2R 第第四四部分部分 平面向量 数列与不等式 平面向量 数列与不等式 1 平面向量的基本运算 平面向量的基本运算 设 A 11 x y B 22 xy 则 ABOB OA 设 11 ax y 22 bxy 0b 1 2 y x y cos2x 1 2 图象 ab a a b 定义公式 坐标公式 a在b方向上的投影为 坐标公式 ab 一般表示 坐标表示 a b 一般表示 坐标表示 cos 夹角公式 坐标公式 2 2 若G为ABC 的重心 则 0 且 G 点坐标为 3 3 三点共线的充要条件 P A B 三点共线 1 OPxOAx OB 4 4 三角形的四心三角形的四心 重心 三角形三条 交点 外心 三角形三边 相交于一点 内心 三角形三 相交于一点 垂心 三角形三边上 的相交于一点 5 5 数列数列 n a 中中 n a与与 n S的关系的关系 n a 注 该公式对任意数列都适用 6 数列相关知识数列相关知识 1 等差数列 等差数列 通项公式 1 n a 其中 1 a为首项 d 为公差 n 为项数 n a为末项 2 推广 n a 前 n 项和 n S 其中 1 a为首项 n 为项数 n a为末项 常用性质 1 若 m n p q 则有 注 若 mnp aa a是的等差中项 则有 2 mnp aaa n m p 成等差数列 理解理解公式之间的公式之间的联系联系 区别 变机械记忆为理解记忆 区别 变机械记忆为理解记忆 第 5 页 共 8 页 2 若 n a n b为等差数列 则 nn ab 为等差数列 3 n a为等差数列 n S为其前 n 项和 则 232 mmmmm SSSSS 也成等差数列 4 0 pqp q aq apa 则 2 等比数列 等比数列 通项公式 1 n a 其中 1 a为首项 n 为项数 q 为公比 2 推广 n a 前 n 项和 n S 常用性质 1 若 m n p q 则有 注 若 mnp aa a是的等比中项 则有 2 mnp aaa n m p 成等比 2 若 n a n b为等比数列 则 nn ab 为等比数列 7 7 常见数列的和 常见数列的和 1 2 3 n 1 2 22 32 n2 1 3 23 33 n3 8 8 一元二次不等式解的讨论一元二次不等式解的讨论 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 0 a 的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 的解集 0 0 2 a cbxax 的解集 0 0 2 a cbxax 9 9 重要不等式 重要不等式 基本基本不等式 不等式 若0 0ab 则 1111 极值定理 极值定理 已知yx 都是正数 则有 1 如果积xy是定值p 那么当yx 时和yx 有最小值 2 如果和yx 是定值s 那么当yx 时积xy有最大值 12 12 均值均值不等式不等式链链 如果 a b 都是正数 那么 当仅当 a b 时取等号 即 平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 a b 为正数 特别地 22 2 22 abab ab 当 a b 时 22 2 22 abab ab 33 2 222 时取等cbaRcba cbacba 幂平均不等式 2 21 22 2 2 1 1 nn aaa n aaa 13 13 均值定理均值定理 已知yx 都是正数 则有 1 已知 a b x yR 若1axby 则有 2 1111 2 byax axbyabababab xyxyxy 2 已知 a b x yR 若1 ab xy 则有 2 2 abaybx xyxyabababab xyxy 你流的汗水会折射出你的光芒 你流的汗水会折射出你的光芒 6 第第五五部分部分 立体几何与解析几何 立体几何与解析几何 1 三视图与直观图 三视图与直观图 原图形与直观图面积之比为 2 常见几何体表面积公式 常见几何体表面积公式 圆柱的表面积 S 圆锥的表面积 S 圆台的表面积 S 球的表面积 S 3 常见几何体体积公式 常见几何体体积公式 柱体的体积 V 锥体的体积 V 台体的体积 V 球体的体积 V 4 4 常见空间几何体的有关常见空间几何体的有关结论 结论 棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面与底面 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 相应小棱锥与小棱锥的侧 面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a b c 则体对角线长为 全面 积为 体积 V 正方体的棱长为a 则体对角线长为 全面积为 体积 V 球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径 长方体的 长 球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径 正方体的 正方体的棱切球的直径 正方体的 长 正方体的外接球的直径 正方体的体 长 正四面体的性质 设棱长为a 则正四面体的 高 对棱间距离 内切球半径 外接球半径 5 5 立体几何常立体几何常用的六个定理用的六个定理 三种语言三种语言 1 直线和平面平行的判定定理 2 直线和平面平行的性质定理 3 平面和平面平行的判定定理 4 直线和平面垂直的判定定理 5 平面和平面垂直的判断定理 6 平面和平面垂直的性质定理 6 直线的斜率 直线的斜率 k 为直线的倾斜角 11 A x y 22 B xy为直线上的两点 7 7 直线方程的五种形式 直线方程的五种形式 直线的点斜式方程 直线l过点 111 P x y 且斜率为k 直线的斜截式方程 b为直线l在y轴上的截距 直线的两点式方程 111 P x y 222 P xy 12 xx 12 yy 直线的截距式方程 a b分别为直线在x轴 y轴上的截距 且0 0 ba 直线的一般式方程 0AxByC 其中 A B 不同时为 0 直线0AxByC 的法向量 lA B 方向向量 lBA 8 8 两条直线的位置关系 两条直线的位置关系 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 则 1 l 2 l 且 2 若 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 则 1 l 2 l 且 12 ll 9 距离公式 距离公式 1 点 111 P x y 222 P xy之间的距离 理解理解公式之间的公式之间的联系联系 区别 变机械记忆为理解记忆 区别 变机械记忆为理解记忆 第 7 页 共 8 页 2 点 00 P xy到直线0AxByC 的距离 3 平行线间的距离 1 0AxByC 与 2 0AxByC 的距离 10 10 圆的方程 圆的方程 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 2 2 圆的一般方程 圆的一般方程 04 22 FED 3 3 圆的圆的参数方程参数方程 1111 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 判断圆心到直线的距离d与半径R的大小关系 1 当 时 直线和圆 有两个交点 2 当 时 直线和圆 有且仅有一个交点 3 当 时 直线和圆 无交点 12 12 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 判断圆心距d与两圆半径和 12 RR 半径差 12 RR 12 RR 的大小 关系 1 当 时 两圆 有 4 条公切线 2 当 时 两圆 有 3 条公切线 3 当 时 两圆 有 2 条公切线 4 当 时 两圆 有 1 条公切线 5 当 时 两圆 没有公切线 13 13 直线与圆相交所得弦长直线与圆相交所得弦长 ABAB d 为直线的距离 r 为半径 若 112212 A x yB xyyy 则线段 AB 的垂直平分线为 已知两圆 2222 111222 00 xyDxE yFxyD xE yF 与 则这两个圆公共弦所在直线方程为 14 椭圆的定义 椭圆的定义 1 平面内与两个定点 21 FF 的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆 这两个 定点叫椭圆的焦点 两焦点间的距离叫焦距 222 cba 2 标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 3 椭圆问题隐含条件 1 2 1515 双曲线的定义 双曲线的定义 1 平面内与两个定点 21 FF 的距离之差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫 双曲线 这两个定点叫双曲线的焦点 两焦点间的距离叫焦距 222 abc 2 标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 3 双曲线问题隐含条件 1 2 1616 抛物线的定义 抛物线的定义 1 平面内与一个定点F和一条定直线l 点F不在l上 的距离的 的点的轨迹叫做双 曲线 这个定点是抛物线的焦点 定直线是抛物线的准线 2 标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 3 抛物线问题隐含条件 1 2 17 离心率 离心率 e 椭圆的离心率 0 1 双曲线的离心率 抛物线的离心 率 18 双曲线的渐近线 双曲线的渐近线 22 22 1 xy ab 0a 0b 的渐近线方程为 且与 22 22 1 xy ab 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 22 22 xy ab 19 过抛物线焦点的直线 过抛物线焦点的直线 倾斜角为 的直线过抛物线 2 2ypx 的焦点F且与抛物线交于 11 A x y 22 B xy两点 1 0y AF BF AB x1x2 y1y2 1 AF 1 BF 20 焦点三角形的面积 焦点三角形的面积 1 椭圆 S 2 双曲线 S 12 FPF 21 几何距离 几何距离 1 椭圆双曲线特有距离 长轴 实轴 短轴 虚轴 焦距 2 通径长 椭圆 双曲线 抛物线 22 直线被曲线所截得的弦长公式 直线被曲线所截得的弦长公式 若弦端点为A 2211 yxByx 则 AB 23 中点弦问题 中点弦问题 椭圆 kABkOP 双曲线 kABkOP 第第六六部分部分 统计与概率 统计与概率 1 总体特征数的估计 总体特征数的估计 样本平均数 x 样本方差 S2 样本标准差 S 你流的汗水会折射出你的光芒 你流的汗水会折射出你的光芒 8 2 2 概率公式 概率公式 互斥事件 对立事件 互斥事件的概率公式 P A B 古典概型 基本事件的总数数为N 随机事件 A 包含的基本事件个数为M 则事件 A 发生的概率为 P A 几何概型 等 区域长度 面积或体积试验的全部结果构成的 积等 的区域长度 面积或体构成事件A AP 3 回归分析回归分析 1 判断两个变量是正相关还是负相关可以