2018年高考全国3卷理科数学(含答案).pdf

1 10 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答案卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知集合 10Ax x 0 12B 则AB A 0 B 1 C 12 D 0 12 2 1i2i A 3i B 3i C 3i D 3i 3 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫棒头 凹进部分叫 卯眼 图中木构件右边的小长方体是棒头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合成长方体 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4 若 1 sin 3 则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 5 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为 A 10 B 20 C 40 D 80 6 直线20 xy 分别与x轴 y轴交于A B两点 点P在圆 2 2 22xy 上 则ABP 面积的 取值范围是 A 26 B 48 C 23 2 D 2 23 2 2 10 7 函数 42 2yxx 的图像大致为 8 某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p 各成员的支付方式相互独立 设X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数 2 4DX 46P XP X 则p A 0 7 B 0 6 C 0 4 D 0 3 9 ABC 的内角ABC 的对边分别为a b c 若ABC 的面积为 222 4 abc 则C A 2 B 3 C 4 D 6 10 设ABCD 是同一个半径为 4 的球的球面上四点 ABC 为等边三角形且其面积为9 3 则 三棱锥DABC 体积的最大值为 A 12 3 B 18 3 C 24 3 D 54 3 11 设 12 FF 是双曲线 22 22 1 xy C ab 00ab 的左 右焦点 O是坐标原点 过 2 F作C的一 条渐近线的垂线 垂足为P 若 1 6PFOP 则C的离心率为 A 5 B 2 C 3 D 2 12 设 0 2 log0 3a 2 log 0 3b 则 A 0abab B 0abab C 0abab D 0abab 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知向量 1 2a 2 2 b 1 c 若 2 ca b 则 14 曲线 1 x yaxe 在点 01 处的切线的斜率为2 则a 15 函数 cos 3 6 f xx 在 0 的零点个数为 16 已知点 1 1M 和抛物线 2 4Cyx 过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A B两点 若 90AMB 则k 3 10 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第 22 23 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 等比数列 n a中 153 14aaa 1 求 n a的通项公式 2 记 n S为 n a的前n项和 若63 m S 求m 18 12 分 某工厂为提高生产效率 开展技术创新活动 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 为 比较两种生产方式的效率 选取 40 名工人 将他们随机分成两组 每组 20 人 第一组工人用第一种 生产方式 第二组工人用第二种生产方式 根据工人完成生产任务的工作时间 单位 min 绘制了如 下茎叶图 1 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高 并说明理由 2 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m 并将完成生产任务所需时间超过m和不超 过m的工人数填入下面的列联表 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 3 根据 2 中的列表 能否有 99 的把握认为两种生产方式的效率有差异 附 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 050 0 010 0 001 3 841 6 63510 828 P Kk k 4 10 19 12 分 如图 边长为 2 的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面 垂直 M是CD上异于C D的点 1 证明 平面AMD 平面BMC 2 当三棱锥MABC 体积最大时 求面MAB与面MCD所成 二面角的正弦值 20 12 分 已知斜率为k的直线l与椭圆 22 1 43 xy C 交于A B两点 线段AB的中点为 10Mmm 1 证明 1 2 k 2 设F为C的右焦点 P为C上一点 且0FPFAFB 证明 FA FP FB成等差 数列 并求该数列的公差 21 12 分 已知函数 2 2ln 12f xxaxxx 1 若0a 证明 当10 x 时 0f x 当0 x 时 0f x 2 若0 x 是 f x的极大值点 求a 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系xOy中 O 的参数方程为 cos sin x y 为参数 过点 02 且倾斜角为 的直线l与O 交于AB 两点 1 求 的取值范围 2 求AB中点P的轨迹的参数方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 211f xxx 1 画出 yf x 的图像 2 当 0 x f xaxb 求ab 的最小值 5 10 绝密绝密 启用前启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A B C A D B C B C B 二 填空题 13 1 2 14 3 15 316 2 17 解 1 设 n a的公比为q 由题设得 1n n aq 由已知得 42 4qq 解得0q 舍去 2q 或2q 故 1 2 n n a 或 1 2n n a 2 若 1 2 n n a 则 1 2 3 n n S 由63 m S 得 2 188 m 此方程没有正整数解 若 1 2n n a 则21 n n S 由63 m S 得264 m 解得6m 综上 6m 18 解 1 第二种生产方式的效率更高 理由如下 i 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人中 有 75 的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟 用第二种生产方式的工人中 有 75 的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟 因此第二种生 产方式的效率更高 ii 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85 5 分钟 用 第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73 5 分钟 因此第二种生产方式的效率更 高 iii 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟 用第二 种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟 因此第二种生产方式的效率更高 iv 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多 关 6 10 于茎 8 大致呈对称分布 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多 关于 茎 7 大致呈对称分布 又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同 故可以认为 用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少 因此 第二种生产方式的效率更高 以上给出了 4 种理由 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 2 由茎叶图知 7981 80 2 m 列联表如下 超过m 不超过m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 3 由于 2 2 40 15 15 5 5 106 635 20 20 20 20 K 所以有 99 的把握认为两种生产方式的效率有 差异 19 解 1 由题设知 平面 CMD 平面 ABCD 交线为 CD 因为 BC CD BC 平面 ABCD 所以 BC 平面 CMD 故 BC DM 因为 M 为CD上异于 C D 的点 且 DC 为直径 所以 DM CM 又 BCCM C 所以 DM 平面 BMC 而 DM 平面 AMD 故平面 AMD 平面 BMC 2 以 D 为坐标原点 DA的方向为 x 轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 当三棱锥 M ABC 体积最大时 M 为CD的中点 由题设得 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 1 1 DABCM 2 1 1 0 2 0 2 0 0 AMABDA 7 10 设 x y z n是平面 MAB 的法向量 则 0 0 AM AB n n 即 20 20 xyz y 可取 1 0 2 n DA是平面 MCD 的法向量 因此 5 cos 5 DA DA DA n n n 2 5 sin 5 DA n 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5 5 20 解 1 设 1221 AyxyxB 则 2222 1212 1 1 4343 yxyx 两式相减 并由 1 2 2 1 y x y k x 得 1122 0 43 yxy k x 由题设知 1212 1 22 xyxy m 于是 3 4 k m 由题设得 3 0 2 m 故 1 2 k 2 由题意得 1 0 F 设 33 P x y 则 331122 1 1 1 0 0 yxxyxy 由 1 及题设得 332121 3 1 20yyxxyxm 8 10 又点 P 在 C 上 所以 3 4 m 从而 3 1 2 P 3 2 FP 于是 2 222 1 11 11 1 1 3 1 2 42 xx FAxxy 同理 2 2 2 x FB 所以 12 1 4 3 2 FAFBxx 故2 FPFAFB 即 FAFPFB成等差数列 设该数列的公差为 d 则 112 2 212 11 2 4 22 FBFAxxxxx xd 将 3 4 m 代入 得1k 所以 l 的方程为 7 4 yx 代入 C 的方程 并整理得 2 1 7140 4 xx 故 1212 1 2 28 xxx x 代入 解得 3 21 28 d 所以该数列的公差为 3 21 28 或 3 21 28 21 解 1 当0a 时 2 ln 1 2f xxxx ln 1 1 x fxx x 设函数 ln 1 1 x g xfxx x 则 2 1 x g x x 当10 x 时 0g x 当0 x 时 0g x 故当1x 时 0 0g xg 且仅 当0 x 时 0g x 从而 0fx 且仅当0 x 时 0fx 所以 f x在 1 单调递增 9 10 又 0 0f 故当10 x 时 0f x 当0 x 时 0f x 2 i 若0a 由 1 知 当0 x 时 2 ln 1 20 0 f xxxxf 这与0 x 是 f x的极大值点矛盾 ii 若0a 设函数 22 2 ln 1 22 f xx h xx xaxxax 由于当 1 min 1 x a 时 2 20 xax 故 h x与 f x符号相同 又 0 0 0hf 故0 x 是 f x的极大值点当且仅当0 x 是 h x的极大值点 2222 2 222 12 2 2 1 2 461 1 2 1 2 xaxxaxx a xaxa h x xxaxxaxx 如果610a 则当 61 0 4 a x a 且 1 min 1 x a 时 0h x 故0 x 不是 h x 的极大值点 如果610a 则 22 4610a xaxa 存在根 1 0 x 故当 1 0 xx 且 1 min 1 x a 时 0h x 所以0 x 不是 h x的极大值点 如果610a 则 3 22 24 1 612 xx h x xxx 则当 1 0 x 时 0h x 当 0 1 x 时 0h x 所以0 x 是 h x的极大值点 从而0 x 是 f x的极大值点 综上 1 6 a 22 解 1 O的直角坐标方程为 22 1xy 当 2 时 l与O交于两点 当 2 时 记tank 则l的方程为2ykx l与O交于两点当且仅当 2 2 1 1k 解得1k 或1k 即 4 2 或 24 综上 的取值范围是 44 10 10 2 l的参数方程为 cos 2sin xt t yt 为参数 44 设A B P对应的参数分别为 A t Bt Pt 则