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1 第六章静电学 2 2 1电场电场强度 一 库仑定律 式中为比例系数 9 0 109Nm2C 2 常写做 为真空介电常数 则库仑定律为 3 二 电场和电场强度 场强的单位是N C 也可用V m 只讨论相对观察者静止的电荷所产生的电场 即静电场 电场强度定义为 4 三 场强叠加原理 1 点电荷的场强 如图 q0在电场中受到的电场力为 如果场源的电荷Q为正 场强E的方向沿r向外 如果场源电荷Q为负 场强E的方向沿r指向Q 5 场强可用矢量式表示 用表示矢径 其方向沿r由Q指向q0 用表示方向上的单位矢量 则 因此点电荷的场强矢量式为 6 2 点电荷系 组 的场强场强叠加原理 由n个点电荷 构成的点电荷系 组 用分别表示 对的作用力 表示的矢量和 则 7 两边同时除以 得 显然为总场强 用表示 右边多项式分别是各场源点电荷的场强 用表示 则上式变为 或 8 II 其次 把所有电荷元在该点的场强矢量叠加起来 求出带电体在该点的场强 积分过程 即应用叠加原理 9 例2 1 解 取轴线为x轴 单位长度圆环带电量称为线电荷密度 用 表示 则 在环上取一线元dl 则线元dl所带的电荷的电量为 10 将dE分解成沿轴线的x方向分量dEx和垂直轴线的y方向分量dEy dEy互相抵消 因此dEy 0 所以P点的场强应为各电荷元x方向场强分量的叠加 11 则 当x a时 即在远离圆环处 有 相当于将带电圆环看作点电荷时的场强 12 利用上题的结果 可以求出均匀带电圆盘轴线上的场强 将圆盘分成无数多个同心圆环 每一圆环相当于一个电荷元 所有圆环电荷元轴线上的场强积分便是整个圆盘轴线上的场强 13 利用结果 式中q dq a r E dE 14 注 总之 要把握信计算电荷连续分布的带电体场强的思想 I求出电荷元dq的场强 微分过程 关键 II积分 叠加 求出所有电荷元的总场强 积分过程 即数学运算 15 四 电力线电通量 1 电力线密度 16 2 电通量 17 然后对上式积分可得曲面S的电通量 或 18 对于闭合曲面规定 由闭合曲面内指向曲面外的方向为面积元的法线方向 因此 电力线由闭合曲面穿出 电通量 为正 电力线曲面外穿入闭合曲面内 则电通量 为负 19 作业 如图 电荷q均匀分布在长为l的细棒上 求位于棒的垂直平分线上P点处的场强E0 20 2 2高斯定理及其应用 一 高斯定理高斯定理表述如下 通过任一闭合曲面S的电通量 等于该面所包围的所有电荷电量的代数和除以 而与闭合面外的电荷无关 下面由特殊到一般来讨论高斯定理 21 22 2 通过包围点电荷q的任意闭合面S 的电通量均为 23 式中 为与面元dS的法线的夹角 1 2 n分别为 与的夹角 总的电通量为 24 如果高斯面内包围的是电荷连续分布的带电体 则为带电体的电量 上式仍然成立 25 二 高斯定理的应用 1 均匀带电球面的场强如图 一半径为R的球面均匀带电 带电量为q 求球面内外的场强 即场强分布 1 P点在球面外 r R 26 2 P点在球面内 r R 27 2 均匀带电球体的场强 2 场点P在球内 r R 28 电荷体密度 29 3 无限大均匀带电平面的场强 如图 一无限大平面均匀带电 设带正电 电荷面密度 单位面积带电量 为 求平面外的场强分布 30 由于侧面 900 cos 0 则积分 侧面 为零 而两底面 0 cos 1 则有 31 高斯面内电量 对于面电荷密度为 和 的两个均匀带电的无限大平行平面 其场强是上述结果的叠加 板内 板外 32 作业 1 两同心带电球壳 大球壳半径为R1 带电量为Q 小球壳半径为R2 带电量为 Q 分别求出 大球外 小球内 两球间的场强 0 0 2 设正电荷均匀分布在一半径为R的很长的圆柱体内 单位体积的电荷为 1 试导出圆柱体内离轴线为r处的电场强度E的表达式 用电荷密度 来表示 2 圆柱体外 r R 一点的电场强度表达式 用单位长度的带电量 表示 3 当r R时比较 1 和 2 的结果 33 6 3电场力做功电势 在任一路径上选取一小位移元dl dl上的场强为E dl与场强E的夹角为 在dl上q0受到的电场力为F q0E 则电场力在dl上对q0做的元功为 一 电场力的功 34 由图可知 dr为dl在矢径方向的分量 dr dlcos 则电场力做的总功为 35 做功与路径无关的性质说明静电场与重力场一样也是保守力场 电场力也是保守力 因此 在静电场中沿任意闭合回路电场力做功为零 即 或 二 电势能电势 1 电势能 对于保守力场 可以引入势能的概念 电荷在静电场中具有的势能称为电势能 36 设检验电荷q0在a b两点的电势能分别为Wa Wb 则电场力做功为 通常规定q0在无限远处的电势能为零 W 0 则q0在电场中任意一点a的电势能为 即电荷在电场中某点的电势能等于把电荷由该点移到无限远处电场力所做的功对于点电荷q的电场 q0在任一点a的电势能可算出为 37 由于a是任意点 故可将下标略去 有 2 电势 由上面讨论的结果可以看出 比值是与q0无关的量 这一比值是描述电场中给定点的电场能量性质的物理量 称为电势 或电位 用U表示 则电场中a点的电势为 38 电场中任何两点的电势之差称为两点电势差或电压 用 Uab表示 39 上式表明 点电荷系的电场中某点的电势是各个点电荷单独存在时在该点电势的代数和 这就是电势叠加原理 40 3 电荷连续分布的带电体电场的电势 应用电势叠加原理求解 首先 将带电体分成无穷多个电荷元 任一电荷元dq在距其r远处的电势为 其次 将所有电荷元在给定点的电势叠加 积分计算整个带电体在该点的电势 41 例2 4 求均匀带电球面的电势分布如图 球面的半径为R 带电量为q 求任一点P的电势 设P点到球心的距离为r 解 由前面的高斯定理可知其场强分布为 场强积分法算电势 42 同点电荷电势的形式一样 与r成反比 2 P点在球内 r R 由于P点在球面内 因此在路径r 范围内 场强E的形式不同 所以应将积分分为两段 一段是由P点到球表面 r R E 0 一段是由 1 p点在球面外 r R 由于的方向沿矢经 积分路径可选沿矢径 则 43 例2 5 求均匀带电圆环轴线上任一点的电势 如图 圆环半径为a 带电量为q 任一点P至圆环中心的距离为x 解 在圆环上任取一小电荷元dq dq到P点的距离为r 球表面 r R 到 则 44 45 此题是用求电势 称为电势迭加法 注 也可用场强积分法求电势 圆环轴线上的场强为 46 由上面两个例题可以看法 I 当场强分布已知 如带电球面 或者带电体具有一定的对称性 因而其场强分布用高斯定理容易求出时 可用场强积分法求电势II 带电体系的电荷分布已知 且对称性不强 如均匀带电圆环 时 应用电势叠加法来得方便 47 作业 均匀带电的半个圆弧 半径为R 带有正电荷Q a 求圆心处的场强 b 求圆心处的电势 48 三 等势面电场强度与电势的关系 1 等势面等势面 电场中电势相同的点连成的曲面称为等势面 不同的带体系的电场不同 因此等势面的形状也不同 由于等势面上的电势处处相等 所以在等势面上移动电荷 电场力不做功 电势能也不改变 2 电场强度与电势 梯度 的关系 称为电势梯度 49 把点荷q0由S1面移到S2面 电场力做功为 而电场力做的功等于电势能的减少 由上式可得 为场强E沿dl向的分量 而 50 例2 6一均匀带电圆盘 半径为R 面电荷密度为 圆盘轴线上点P距盘中心O的距离为x 求P点的电势和场强 解 如图 选轴线为x轴 将圆盘分成无数个同心圆环 任选一半径为r 宽为dr的带电圆环 其带电量为 此圆环在P点的电势为 51 整个圆盘在P点的电势为上式的积分 因为P点是轴线上的任意点 所以这一结果是沿轴线上的电势分布 U是x的函数 可应用电势 52 梯度求x向的场强 若R x 则 与无限大均匀带电平面的场强相同 53 作业 在一沿X轴放置 一端在原点 x 0 的长为L的细棒上每单位长度上分布着的电荷 其中k为常数 1 若把无穷远处的电势定为零 求y轴上点P处的电势U 2 试由 1 的结果确定P处电场强度的竖直分量Ey X Y P o 54 2 4电偶极子 两个相距较近的等量异号的点电荷组成的带电系统称为电偶极子 简称电偶 如图 两点电荷的电量为 q和 q 距离为l 由 q到 q的方向为l的正向 称为电偶极子的轴线 用表示 q与的积称为电偶极矩 简称电矩 用来表示电偶极子的特性 用表示 下面讨论电偶极子电场的电势分布 设P为电场中任意一点 P点到电偶极子中心O的距离为r P点到 q和 q的距离分别为 55 r1 r2 则两点电荷在P点的电势分别为 则P点的总电势为 若r l 则有r1 r2 r 而r2 r1 lcos 为r与的夹角 56 2 5静电场中的电介质 一 电介质及其极化 1 有极分子与无极分子分子 原子中的正 负电荷都不是集中于一点 但是在比原子或分子线度大得多的范围 宏观 观察 它们中的全部正电荷或全部负电荷所起的作用可用一个等效正电荷或一个等效负电荷来代替 电介质可以分成两类 在一类电介质中 当外电场不存在或说不受外电场作用时 电介质分子的正 负电荷中心不重合 虽然分子中 57 正 负电荷的代数和仍然为零 但等量的正 负电荷中心互相错开 则形成一定的电偶极矩 称为分子电矩也用p ql表示 式中q为等效电荷的电量 l为正 负电荷中心的距离 这类分子叫有极分子 另一类电介质在外电场不存在或不受外电场作用时 电介质分子的正 负电荷中心是重合的 这类分子叫无极分子 2 电介质的极化 1 有极分子的取向极化当有极分子组成的电介质受到外电场作用后 每个分子电矩都受到力偶矩的作用 使分子电矩尽量转向外电场的方向 电介质内部虽 58 59 3 电极化强度1 电极化强度为了描述电介质极化的程度 引入电极化强度 用表示 在电介质内某点附近取一小体积元 V 在外场的作用下 该体积之内所有分子电矩的矢量和为 则该点的电极化强度为 其定义为单位体积内所有分子电矩的矢量和 单位为C m 2 60 2 电极化强度与束缚电荷面密度 间的关系 在被极化的均匀电介质中取一小圆柱体 长为 l 底面积为 S 其轴线与电极化强度平行 底面用表示 与的夹角为 圆柱体的体积为 V S lcos 两底面束缚电荷面密度为 从宏观上看 它本身就相当于一个电偶极子 由可知其电矩为 从微观上秆 它在数值上应等于小圆柱内所有分子电矩的矢量和 即 61 则电极化强度的大小为 二 电介质中的场强 在真空中电荷面密度分别为 与 的带电平行板间的电场的场强为 现将一均匀电介质插入平行板内 则在电介质两侧表面上分别产生面密度为 和 的束缚电荷 它们在电介质内部建立了一个与原来电场方向相反的附加电场 则电介质内的场强为 62 63 则电介质中的场强为原场强的倍 点电荷q在电介质中的场强为 式中 0 r 称为电介质的绝对介电常数 对于真空 0 与 0的单位相同 对于无限大的均匀带电平面 电荷面密度为 若在两板间放入相对介电常数为 r的电介质 则电介质中的场强为 64 在电介质中库仑定律应表示为 65 例2 7半径为R的导体球带电量Q 球外同心放置相对介电常数为 r的电介质球壳 其内外半径分别为R1 R2 求空间各点的电场强度及电介质球壳表面的极化电荷 解 1 求E的分布 方向沿径向向外 66 R1 r R2区域 无电介质时 有 当此区域有电介质时 其场强为 方向沿径向向外 2 求 分布在电介质球壳的表面上 极化强度只存在于电介质中 则 的大小为 67 在内表面 r R1 外法线沿径向指向球心O 在外表面 r R2 沿径向向外 68 69 2 6电容电场的能量 一 电容设有一孤立导体 带电量为q 电势为U 实验表明 当导体的电量增加时 电势也相应增加 所带电量与相应的电势的比值为一常数 C与导体的电量q和电势U无关 只与导体的形状和大小有关 称为孤立导体的电容 C的物理意义是使导体每升高单位电势所需的电量 电容的单位是法拉 用F表示 70 常用微法 F或皮法 pF 1 F 10 6F1pF 10 6 F 10 12F当一个半径为R的导体球的带电量为q时 其电势为 其电容为 与半径成正比 一个电容大 体积小而且不受周围物体影响的导体组 称为电容器 常用的电容器是由两个十分靠近的金属薄片中间夹有电介质组成 若 71 电容器两极板间的电势差为 U U1 U2 带电量为q 两极板带等量异号电荷 则电容器的电容为 两极板平行的电容器称为平行板电容器 其板间为匀强场 场强为E 极板间距离为d 极板面积为S 则 两板间电势差为 72 则电容器的电容为 一般采用在两板间填充绝缘好的电介质 则用代替式中的 这时的电容为 二 带电系统的能量 孤立导体带电后 在其周围会产生电场 现从无穷远处移一电荷元到导体上 则外力必须反抗电场力做功 这部分功全部变为导体的静电能 设某时该导体已带有电荷q 其电势为U 73 C为导体的电容 现将一电荷元dq由无限远移到导体上 则外力做功为dA dA全部转换为导体的静电能dW 则 当导体的带电量由零增到Q时 导体具有的静电能为 74 三 静电场的能量 设平行板电容器两极板电势差为 U1 U2 带电量为Q 则其具有的静电能为 真空中 电容器的电容 电势差U1 U2 Ed 代入上式