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构造直角三角形解题韩玉海在解某些数学问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，巧妙地将题目解出。下面举例说明。1、求线段长例1在四边形ABCD中，A=60，B=90，D=90，AB=2，CD=1。求BC和AD的长。解：延长AD、BC交于F，得RtABF和RtCDF，且F=30。在RtABF中，由AB=2，F=30得AF=2AB=4同理可得CF=2，DF=BC=BFCF=，AD=AFDF=4。2、求角的度数例2如图，在ABC中，ABC=45，ACB=60，D在AC的延长线上，AB=CD。求CBD。解：作AEBC于E，连DE，在RtABE中，BE=AE，在RtAEC中，所以。则AB=而AB=，故CE=CD1=2=ACB=30又EAC=30，所以DE=AE=BE所以CBD=3=1=153、证线段倍分例3如图，B=90，1=2=60，C=45，求证：CDBD=AB。证明：把ABD绕AD翻转到ABD的位置，则BD=BD，AB=AB，B=B=90o，2=3。由123=180，知C、D、B三点共线，故ABC为等腰直角三角形，从而有：CDBD=AB，CDBD=AB。4、证不等例4如图，在ABC中，BCAC，AD、BE为高，求证：BCADACBE。证明：由题意，在BC上取一点A，使AC=AC，作ADAC于D，AFBE于F，则四边形EFAD为矩形，得AD=FE又有RtADCRtADC，于是AD=ADBA=BCAC=BCACBF=BEFE=BEAD=BEAD在RtABF中，BABF，即BCACBEADBCADACBE.5、解三角问题例5求cot22.5的值。解：构造如图所示的RtABC，则cot22.5=6、解代数问题例6若a3，求证：。证明：作出如图所示的RtABC，由BDADAB，得7、求最值例7若m、n、p为正实数，且，求：的最小值。解：构造如图所示的直角三角形，易知CDAE，即故的最小值为例8求的最小值。解：构造如图所示的RtPAC，RtPBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直线L上，则所求最小值转化为“在直线L上求一点P，使PAPB的值最小”，取A点关于L的对称点A，则有：原式=PAPBAB故的最小值是5。 更多精彩文章尽在扬州假日培训网！点击更多惊喜等着您！构造直角三角形解题山东省莱西市牛溪埠镇栾家寨中学 秦显平山东省莱西市教育局教研室 梁翠风在解决一些线段或角的数量关系问题时，根据已知图形的特征，可考虑构造直角三角形，以运用直角三角形的边角关系求解1等腰三角形问题例1如图1，D为等腰ABC的底边BC的延长线上的任意一点求证 AD2-AC2DBDC证明 作AEBC于E，ABAC，BEEC根据勾股定理，有AD2-AC2(AE2+ED2)-(AE2+EC)2ED2-EC2(ED+EC)(ED-EC)DBCD2面积问题例2 如图2，已知ABC中，B60，C75，ABC的面积为解 作CDAB于D， B60， A180-60-7545，解得 a2，故选C，3直角问题例3 如图3，在四边形ABCD中，ABBCCDDA2231，且B90，求DAB的度数解 连结AC，设ADa，则ABBC2a，CD3a B90，且ABBC，又 AC2+AD28a2+a29a2CD2， CAD为直角三角形且 CAD90，BAD90+45135例4 如图4，在四边形ABCD中，A60，BD90解 延长AB和DC相交于E，延长AD和BC相交于F，易知4三角函数问题例5 如图5，AD是ABC的中线，BAD，CAD，ADC证明 分别从B、C向AD或AD延长线作垂线，垂足为E、F在RtBED和RtCFD中，BDECDF，BDCD， BEDCFD， AE-AF2ED2BEctg而AEBEctg，AFCFctgBEctg，把它们都代入，化简即得，5勾股定理的逆定理问题 例6 如图6，已知P是正方形ABCD内的一点，且2BP2+AP2PC2求证APB135分析 条件似乎很不够，可考虑用旋转，把PBC绕B点逆时针旋转90得PBA，则PBPB，PBP90，PPB45，且2BP2+AP2PB2+BP2+AP2PP2+AP2PC2PA2 APP90，APB90+451356直径问题例7 如图7，圆内接四边形ABCD中，AC是O的直径，DAB60，CD2，BC11求AC的长解 AC是O的直径，ADCB90延长BC、AD交于E，则DCE为直角三角形B90，DAB60，E90-6030，在RtCDE中E30，EC2CD4，BEBC+EC11+415，例8 如图8，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且OPB45，PAPB