陪集与拉格朗日定理.ppt

第四节陪集与拉格朗日定理 一 陪集及其性质1 陪集定义及实例2 陪集的基本性质二 拉格朗日定理及其应用1 拉格朗日定理及其推论2 拉格朗日定理的应用实例 第四节陪集与拉格朗日定理 一 陪集及其性质1 陪集定义及实例定义11 9设H是G的子群 a G 令 Ha ha h H 称Ha是子群H在G中的右陪集 称a为Ha的代表元素 例设A 1 2 3 f1 f2 f6是A上的双射函数 其中 f1 f2 f3 f4 f5 f6 令G f1 f2 f6 则G关于函数的复合运算构成群 考虑G的子群H f1 f2 做出H的全体右陪集如下 Hf1 f1 f1 f2 f1 f1 f2 H Hf2 f1 f2 f2 f2 f2 f1 H Hf3 f1 f3 f2 f3 f3 f5 Hf4 f1 f4 f2 f4 f4 f6 Hf5 f1 f5 f2 f5 f5 f3 Hf6 f1 f6 f2 f6 f6 f4 Hf1 Hf2 Hf3 Hf5 Hf4 Hf6 2 陪集的基本性质定理11 8 设H是群G的子群 则 1 He H 2 a G有a Ha 定理11 9设H是群G的子群 则 a b G有 a Hb ab 1 H Ha Hb 定理11 10 设H是群G的子群 在G上定义二元关系R a b G R ab 1 H则R是G上的等价关系 且 a R Ha 证先证明R为G上的等价关系 自反性 任取a G aa 1 e H R对称性 任取a b G 则 R ab 1 H ab 1 1 H ba 1 H R传递性 任取a b c G 则 R R ab 1 H bc 1 H ac 1 H R下面证明 a G a R Ha 任取b G b a R R ab 1 H Ha Hb b Ha 推论设H是群G的子群 则 1 a b G Ha Hb或Ha Hb 2 Ha a G G 定理11 11设H是群G的子群 则 a G H Ha 类似地 也可以定义H的左陪集 即 aH ah h H a G关于左陪集有下述性质 1 eH H 2 a G a aH 3 a b G a bH b 1a H aH bH 4 若在G上定义二元关系R a b G R b 1a H则R是G上的等价关系 且 a R aH 5 a G H aH 例题 设G为模12加群 求在G中所有的左陪集 解 0 3 6 9 的不同左陪集有3个 即0 1 4 7 10 1 4 7 10 2 5 8 11 2 5 8 11 对于有限群G 子群H的不同的右陪集数为 G H 第一个右陪集就是H自身 任选元素a G H 求Ha 作为第二个右陪集 任选元素b G H Ha 做第三个陪集Hb 任选元素c G H Ha Hb 做第四个右陪集 依次做下去 由于G是有限群 经过有限步就可以得到G的全体右陪集 分析 求群的所有陪集的方法 以右陪集为例加以说明 二 拉格朗日定理及其应用1 拉格朗日定理及其推论 证设R是G中的一个等价关系 所以由定理11 10知 R必将G划分成不同的等价类 a1 R a2 R ak R 使得 G Ha1 Ha2 Har G Ha1 Ha2 Har 由定理11 11知 Hai H 所以 Hai H m i 1 2 k 得 n G H k m k从而m n 定理11 12 Lagrange 设G是有限群 H是G的子群 G n H m 则 m n 推论1设G是n阶群 则 a G a 是n的因子 且有an e 推论2对阶为素数的群G 必存在a G使得G 证任取a G 是G的子群 的阶是n的因子 是由a生成的子群 若 a r 则 a0 e a1 a2 ar 1 即的阶与 a 相等 所以 a 是n的因子 从而an e 证设 G p p是素数 由p 2知G中必存在非单位元 任取a G a e 则是G的子群 根据拉格朗日定理 的阶是p的因子 即的阶是p或1 显然的阶不是1 这就推出G 2 拉格朗日定理的应用实例命题 如果群G只含1阶和2阶元 则G是Abel群 证设a为G中任意元素 有a 1 a 任取x y G 则xy xy 1 y 1x 1 yx 因此G是Abel群 证1阶群是平凡的 显然是阿贝尔群 2 3和5都是素数 由推论2它们都是单元素生成的群 都是Abel群 设G是4阶群 若G中含有4阶元 比如说a 则G 由上述分析可知G是Abel群 若G中不含4阶元 G中只含1阶和2阶元 由命题可知G也是Abel群 例证明阶小于6的群都是Abel群 本节内容及要求 熟悉陪集的定义和性质熟悉拉格朗日定理及其推论 学习使用该定理解决简单的问题 第五节正规子群与商群 一 正规子群的定义与实例1 正规子群的定义2 正规子群的实例二 正规子群的判别法1 正规子群的判定定理2 正规子群的判别实例三 商群1 商群定义及其实例2 商群的求解 第五节正规子群与商群 一 正规子群的定义与实例1 正规子群的定义定义11 10 设H是群G的子群 如果 a G都有Ha aH 则称H是G的正规子群 记作H G 任何群G都有正规子群 因为G的两个平凡子群 即G和 e 都是G的正规子群 如果G是Abel群 G的所有子群都是正规子群 2 正规子群的实例 例设A 1 2 3 f1 f2 f6是A上的双射函数 其中 f1 f2 f3 f4 f5 f6 令G f1 f2 f6 则G关于函数的复合运算构成群 G的全体子群是 H1 f1 H2 f1 f2 H3 f1 f3 H4 f1 f4 H5 f1 f5 f6 H6 GH1 H5和H6是G的正规子群 而H2 H3和H4不是正规子群 二 正规子群的判别法1 正规子群的判定定理定理11 13设N是群G的子群 N G g G n N有gng 1 N 定理11 14设N是群G的子群 N G g G有gNg 1 N 2 正规子群的判别实例例设N G 若G的其他子群都不与N等势 则N G 证任取g G 易证gNg 1是G的子群 下面证N gNg 1 n N 令f n gng 1 则f N gNg 1 f n1 f n2 gn1g 1 gn2g 1 n1 n2 即f是单射 gng 1 gNg 1 n N f n gng 1 f是满射 从而N gNg 1 根据已知条件 必有gNg 1 N 所以N G 三 商群1 商群定义及其实例商群定义 设G是群 N是G的正规子群 令G N是N在G中的全体右陪集 或左陪集 构成的集合 即 G N Ng g G 在G N上定义二元运算 如下 对于任意的Na Nb G N Na Nb Nab可以证明G N关于 运算构成一个群 称为G的商群 例设是整数加群 令 3Z 3z z Z 则3Z是Z的正规子群 Z关于3Z的商群 Z 3Z 0 1 2 其中 i 3z i z Z i 0 1 2且Z 3Z中的运算如下表所示 例题 设为模18加群 求商群Z18 解 0 4 8 12 16 2 6 10 14 0 3 6 9 12 15 0 9 Z18 1 其中1 1 5 9 13 17 3 7 11 15 运算表为 2 商群的求解 3 6 其中3 3 12 6 6 15 运算表为 说明 求解商群的方法 商群G N Ng g G 先计算子群N求所有陪集的集合G N 对于有限群 G N G N 若商群为有限群 给出运算表 若商群为无限群 给出运算表达式 本节内容及要求 正规子群的判别定理和方法商群的定义和实例会判别和证明子群的正规性了解商群的概念 第六节群的同态与同构 一 同态映射的定义二 典型同态映射的实例三 同态映射的性质1 同态映射保持元素的对应性2 同态映射保持子群的对应性3 有关同态核的性质4 同态基本定理 第六节群的同态与同构 一 同态映射的定义1 定义11 11设G1 G2是群 G1 G2 若 a b G1都有 ab a b 则称 是群G1到G2的同态映射 简称同态 定义11 12设 G1 G2是群G1到G2的同态 1 若 G1 G2是满射 则称 为满同态 这时也称G2是G1的同态像 2 若 G1 G2是单射的 则称 为单同态 3 若 G1 G2是双射的 则称 为同构 记作G1 G2 4 若G1 G2 则称 是群G的自同态 类似的可以定义满自同态 单自同态和自同构 2 特殊同态的分类 满同态 单同态 同构 二 典型同态映射的实例例 1 G1 是整数加群 G2 是模n的整数加群 令 Z Zn x x modn则 是G1到G2的满同态 x y Z有 x y x y modn x modn y modn x y 2 设G 是模n整数加群 可以证明恰有n个G的自同态 即 p Zn Zn p x px modn p 0 1 n 1 例 3 设G1 是实数加群 G2 是非零实数乘法群 令 R R x ex则 是G1到G2的单同态 x y R有 x y ex y ex ey x y 4 设G1 G2是群 e2是G2的单位元 令 G1 G2 a e2 a G1则 是G1到G2的同态 称为零同态 因为 a b G1有 ab e2 e2e2 a b 例设G为群 a G 令 G G x axa 1 x G则 是G的自同构 称为G的内自同构 证 x y G有 xy a xy a 1 axa 1 aya 1 x y 所以 是G的自同态 任取y G 则a 1ya G 且满足 a 1ya a a 1ya a 1 y所以 是满射的 x y axa 1 aya 1 x y 从而证明了 是单射的 综合上述 是G的自同构 注意 如果G是Abel群 则G的内自同构只有恒等映射 三 同态映射的性质1 同态映射保持元素的对应性定理11 5设 是群G1到G2的同态映射 e1和e2分别为G1和G2的单位元 则 1 e1 e2 2 a 1 a 1 a G1 例设G1 是有理数加群 G2 是非零有理数乘法群 证明不存在G2到G1的同构 证假设 是G2到G1的同构 那么有 G2 G1 1 0于是有 1 1 1 1 1 0从而得 1 0 这与 的单射性矛盾 定理11 16 设 是群G1到G2的同态 H是G1的子群 则 1 H 是G2的子群 2 若H是G1的正规子群 且 是满同态 则 H 是G2的正规子群 2 同态映射保持子群的对应性 定义11 13设 是群G1到G2的同态 令 ker x x G1 x e2 其中e2为G2的单位元 称ker 为同态的核 3 有关同态核的性质 实例 1 Z Zn x x modn ker z z Z n整除z nZ 2 R R x ex ker 0 3 G1 G2 a e2 a G1 是零同态 ker G1 定理11 17设 是群G1到G2的同态 则 1 ker G1 2 是单同态当且仅当ker e1 其中e1为G1的单位元 定理11 18 同态基本定理 设G是群 N是G的正规子群 则G N是G的同态像 反之 G 是G在 下的同态像 则G ker G 4 同态基本定理 本节内容及要求 群同态映射的定义及其性质熟悉群同态映射的定义及其性质 作业P230 26 29 30 圣诞快乐 第七节循环群与置换群 一 循环群的定义及分类1 循环群的定义2 循环群的分类二 循环群的生成元三 循环群的子群四 n元置换及其表示1 n元置换的定义2 n元置换的乘法3 n元置换的分解式五 n元置换群 第七节循环群与置换群 一 循环群的定义及分类1 循环群的定义定义11 14设G是群 若存在a G使得 G ak k Z 则称G是循环群 记作G 称a为G的生成元 2 循环群的分类 G 根据生成元a的阶可以分成两类 n阶循环群和无限循环群 设G 是循环群 若a是n阶元 则 G a0 e a1 a2 an 1 那么 G n 称G为n阶循环群 若a是无限阶元 则 G a 0 e a 1 a 2 这时称G为无限循环群 定理11 19设G 是循环群 1 若G是无限循环群 则G只有两个生成元 即a和a 1 2 若G是n阶循环群 则G含有 n 个生成元 且对于任何小于等于n且与n互质的正整数r ar是G的生成元 二 循环群的生成元 注 n 是欧拉函数 对于任何正整数n n 是小于等于n且与n互素的正整数个数 例如n 12 小于或等于12且与12互素的正整数有4个 1 5 7 11 所以 12 4 例 1 设G e a a11 是12阶循环群 则 12 4 小于或等于12且与12互素的数是1 5 7 11 由定理11 19可知a a5 a7和a11是G的生成元 2 设G 是模9的整数加群 则 9 6 小于或等于9且与9互素的数是1 2 4 5 7 8 根据定理11 19 G的生成元是1 2 4 5 7和8 3 设G 3Z 3z z Z G上的运算是普通加法 那么G只有两个生成元 3和 3 定理11 20设G 是循环群 1 设G 是循环群 则G的子群仍是循环群 2 若G 是无限循环群 则G的子群除 e 以外都是无限循环群 3 若G 是n阶循环群 则对n的每个正因子d G恰好含有一个d阶子群 三 循环群的子群 例 1 G 是无限循环群 其生成元为1和 1 对于自然数m N 1的m次幂是m m生成的子群是mZ m N 即 0 0Z mz z Z mZ m 0 2 G Z12是12阶循环群 12的正因子是1 2 3 4 6和12 因此G的子群是 1阶子群 0 2阶子群 0 6 3阶子群 0 4 8 4阶子群 0 3 6 9 6阶子群 0 2 4 6 8 10 12阶子群 Z12 1 n元置换的定义定义11 15设S 1 2 n S上的任何双射函数 S S称为S上的n元置换 一般将n元置换 记为 四 n元置换及其表示 例如S 1 2 3 4 5 则 都是5元置换 定义11 16设 是n元置换 和 的复合 也是n元置换 称为 与 的乘积 记作 例如 2 n元置换的乘法 3 n元置换的分解式 1 k阶轮换定义11 17设 是S 1 2 n 上的n元置换 若 i1 i2 i2 i3 ik 1 ik ik i1且保持S中的其他元素不变 则称 为S上的k阶轮换 记作 i1i2 ik 若k 2 称 为S上的对换 例如5元置换 分别是4阶和2阶轮换 1234 13 其中 也叫做对换 2 置换分解为轮换之积设S 1 2 n 对于任何S上的n元置换 一定存在着一个有限序列i1 i2 ik k 1 可以取i1 1 使得 i1 i2 i2 i3 ik 1 ik ik i1令 1 i1i2 ik 它是从 中分解出来的第一个轮换 根据复合定义可将 写作 1 其中 作用于S i1 i2 ik 上的元素 继续对 进行类似的分解 由于S中只有n个元素 经过有限步以后 必得到 的轮换分解式 1 2 t 例设S 1 2 8 从 中分解出来的第一个轮换式 15236 第二个轮换为 4 第三个轮换为 78