【解析版】黑龙江省教研联合体2013年高考数学二模试卷(文科).doc

2013年黑龙江省教研联合体高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）（2013黑龙江二模）复平面内，表示复故（其中i为虚数单位）的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：根据题意分子分母同乘以2+i进行化简，整理出实部和虚部，再写出复平面内对应的定的坐标并判断所在的象限解答：解：由题意=，则此复数对应的点的坐标为，在第一象限，故选A点评：本题考查了复数的除法运算和复数的几何意义，对于除法运算需要分子分母同乘以分母的共轭复数再进行化简2（5分）（2013黑龙江二模）已知全集U=0，1，2，3，4，A=1，2，3，B=2，4，则下列阴影部分表示集合为（）A0，2B0，1，3C1，3，4D2，3，4考点：Venn图表达集合的关系及运算专题：图表型分析：分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、B的并集中的元素去掉A、B的交集中元素得到的集合，由集合A、B计算即可得答案解答：解：根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、B的并集中的元素去掉A、B的交集中元素得到的集合，又由全集U=0，1，2，3，4，A=1，2，3，B=2，4，则AB=2，AB=1，2，3，4，下列阴影部分表示集合为1，3，4故选C点评：本题考查Venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，注意答案必须为集合（加大括号）3（5分）（2013黑龙江二模）某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是（）A36cm3B48cm3C60cm3D72cm3考点：由三视图求面积、体积专题：图表型分析：由三视图可以看出，此几何体上部是一个长为4宽为2高为2的长方体，下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，4，高为2，由此体积易求解答：解：由图知，此几何体上部是一个长为4宽为2的长方体，其体积为：422=16；下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，6，高为2，故下部的体积是42=32；故此几何体的体积是16+32=48故选B点评：本题考查由三视图求面积、体积，解题的关键是从三视图看出实物图的形状及大小来，再根据实物图的相关的数据求同几何体的体积4（5分）（2013黑龙江二模）某厂采用节能降耗技术后生产某产品的产量x（吨）与消耗的标准 煤y（吨）如下表所示：x3456y2.53a4.5根据上表，得到线性回归方程为=0.7x+0.35，则实数a=（）A3B3.5C4D5考点：线性回归方程专题：应用题分析：先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有a的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于a的一次方程，解方程，得到结果解答：解：由数据可知：=4.5，=代入=0.7x+0.35，可得=0.74.5+0.35，解得a=4故选C点评：本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错5（5分）（2013黑龙江二模）如图是某种零件加工过程的流程图：已知在一次这种零件的加工过程中，到达的1000个零件有99.4%的零件进入精加工工序所有零件加工完后，共得到10个废品，则精加工工序产生的废品数为（）A7B6C5D4考点：用样本的频率分布估计总体分布专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知这是一个零件的加工工序图逐步分析该工序流程图，不难得到加工和检验程序及导致废品的产生有多少种不同的工序数目解答：解：由流程图可知，该零件加工过程中，最少要经历：零件到达粗加工检验精加工最后检验从零件到成品最少要经过 4道加工和检验程序；由流程图可知，该零件加工过程中，导致废品的产生有下列几种不同的情形：零件到达粗加工检验返修加工返修检验废品零件到达粗加工检验精加工返修检验废品零件到达粗加工检验精加工最后检验废品共3种情形，又到达的1000个零件有99.4%的零件，即994个零件进入精加工工序，从而有6个成了废品，因所有零件加工完后，共得到10个废品，则精加工工序产生的废品数为106=4故选D点评：根据工序流程图（即统筹图）写工序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从工序流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模6（5分）（2013黑龙江二模）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2=2b2，sinB=sinC，则B等于（）A60B30C135D45考点：正弦定理的应用专题：计算题；解三角形分析：根据正弦定理及sinB=sinC，得b=c，结合a2=2b2可得ABC中a：b：c=：1：1，因此ABC是以A为直角的等腰直角三角形，可得B=45解答：解：ABC中，a2=2b2，a=b又sinB=sinC，由正弦定理得b=c因此ABC中，a：b：c=：1：1，可得a2=b2+c2，ABC是以A为直角的等腰直角三角形，可得B=45故选：D点评：本题给出三角形ABC满足的边角之间的关系，求B的大小着重考查了利用正余弦解三角形的知识，属于基础题7（5分）（2013黑龙江二模）已知直线l1：x+2y1=0，直线l2的倾斜角为a，若l1丄l2，则cos2a=（）ABCD考点：二倍角的余弦；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系专题：计算题分析：表示出两直线的斜率，由两直线垂直时斜率的乘积为1求出tan的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再 利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan的值代入计算即可求出值解答：解：根据题意得：tan=1，即tan=2，则cos2=cos2sin2=故选D点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两直线垂直与倾斜角、斜率的关系，熟练掌握公式是解本题的关键8（5分）（2013黑龙江二模）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若 m，n，则 mnB若 m丄，n，则 m丄nC若 m丄，n丄，丄，则 mnD若 m，n，丄，则 m丄n考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：A利用线面平行的性质去判断直线关系B利用线面垂直和平行，去判断线线关系C利用线面垂直的性质取判断D利用线面平行和线面垂直的性质取判断解答：解：A当满足线面平行时，直线的位置无法确定，所以当 m，n，时，直线m，n可能平行，也可能相交或异面，所以A错误B因为，所以当 m丄时，有m丄，又n，所以必有m丄n，所以B正确C因为时，平面，的位置关系不确定，所以当m丄，n丄，丄时，m，n不一定平行，所以C错误D因为时，平面，的位置关系不确定，所以当m，n，丄，则 m丄n不一定成立，所以D错误故选B点评：本题考查了空间点线面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握点线面之间平行和垂直的性质和判定定理9（5分）（2013黑龙江二模）若点P（1，1）是圆（x3）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）Ax2y+1=0Bx+2y3=0C2x+y3=0D2xy1=0考点：直线与圆相交的性质专题：计算题；直线与圆分析：由圆的方程找出圆心O坐标，根据题意，利用垂径定理得到弦AB所在的直线与直线OP垂直，求出直线OP的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1求出直线AB的斜率，由P与求出的斜率确定出直线AB的方程即可解答：解：由圆的方程得：圆心O（3，0），由题意得：直线OP与直线AB垂直，且直线OP的斜率为=，直线AB斜率为2，则直线AB方程为y1=2（x1），即2xy1=0故选D点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，以及垂径定理，根据题意得到直线OP与直线AB垂直是解本题的关键10（5分）（2013黑龙江二模）函数f（x）=，若函数y=f（x）2有3个零点，则实数a的值为（）A4B2C2D4考点：函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理专题：计算题；转化思想分析：由已知中函数f（x）=，若函数y=f（x）2有3个零点，我们分别判断出x4时，函数的零点，及x=4时，函数的零点，进而可得实数a的值解答：解：函数f（x）=则函数y=f（x）2=若x4，则=0，则x=3或x=5若x=4，则a2=0，则a=2故选C点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，函数零点的判定定理，其中分段函数分段处理，是解答本题的关键11（5分）（2013黑龙江二模）已知实数a，b满足，x1，x2是关于x的方程x22x+ba+3=O的两个实根，则不等式0x11x2成立的概率是（）ABCD考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；几何概型专题：不等式的解法及应用分析：构造函数，利用0x11x2，可得a，b的范围，作出图形，计算面积，可得概率解答：解：构造函数f（x）=x22x+ba+3，则0x11x2，作出可行域，如图所示，阴影部分的面积为正方形的面积为44=16不等式0x11x2成立的概率是=故选A点评：本题考查方程根的研究，考查几何概型，正确计算面积是关键12（5分）（2013黑龙江二模）已知函数f（x）=lnx，x1，x2（0，），且x1x2，则下列结论中正确的是（）A（x1x2）f（x1）f（x2）0Bf（）f（）Cx1f（x2）x2f（x1）Dx2f（x2）x1f（x1）考点：对数函数的单调性与特殊点专题：函数的性质及应用分析：根据函数的单调性可得A不正确；根据函数的图象是下凹的，可得B不正确； 利用导数判断函数 在（0，+）上是增函数，故有 ，化简可得 x1f（x2）x2f（x1），故C正确、且D不正确解答：解：由于已知函数f（x）=lnx在定义域（0，+）上是增函数，x1，x2（0，），且x1x2 ，可得f（x1）f（x2）0，故（x1x2）f（x1）f（x2）0，故A不正确由于已知函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（）f（），故B不正确已知函数f（x）=lnx，x1，x2（0，），且x1x2 ，则 =0，函数 在（0，+）上是增函数，故有 ，化简可得 x1f（x2）x2f（x1），故C正确、且D不正确故选C点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）（2013黑龙江二模）已知p：0x2，q：xa，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是2，+）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题；规律型分析：由题意可得集合x|0x2是x|xa的真子集，结合数轴可得答案解答：解：p：0x2，q：xa，又p是q的充分不必要条件，集合x|0x2是x|xa的真子集，故可得a2，即实数a的取值范围是2，+），故答案为：2，+）点评：本题考查充要条件的应用，得出集合间的关系是解决问题的关键，属基础题14（5分）（2013黑龙江二模）已知双曲线（a0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是y=x考点：圆锥曲线的共同特征专题：计算题分析：先根据抛物线y2=8x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后可得到双曲线的渐近线的方程解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），曲线的焦点坐标为：（2，0），（2，0）；故双曲线中的c=2，且满足 c2=a2+b2，故a=，所以双曲线的渐近线方程为y=x故答案为y=x点评：本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查15（5分）（2013黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为1，2考点：类比推理专题：规律型分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f（x）=3x2+10，则f（x）在R上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），x2=x+2，解之得，x=1或x=2所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为1，2故答案为：1，2点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题16（5分）（2013黑龙江二模）已知向量，满足：|=1，|=，在上的投影为，（）（）=0，则|的最大值为考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：平面向量及应用分析：建立直角坐标系Oxy设，由在上的投影为，可得=，得到=，即可得到设，由（）（）=0得，得到得圆心C，半径r=利用=+r即可得到|的最大值解答：解：建立直角坐标系Oxy设，在上的投影为，=，=，=，设，由（）（）=0得，得，化为得圆心C，半径r=+r=1+故|的最大值为故答案为点评：熟练掌握向量的数量积运算及其投影的意义、圆的标准方程、模的计算公式等是解题的关键三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）（2013黑龙江二模）已知数列an的前n项和Sn=2n+12（nN*）（）求数列an的通项公式an；（）若bn=anlog2an（nN*），求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：（）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可求数列an的通项公式an；（）确定数列bn的通项，利用错位相减法，即可求前n项和Tn解答：解：（）Sn=2n+12，n2时，Sn1=2n2，两式相减，可得an=（2n+12）（2n2）=2n，n=1时，a1=S1=2an=2n；（）由（）得bn=anlog2an=n2n，Tn=12+222+323+424+n2n，2Tn=122+223+324+425+n2n+1，得Tn=2222324252n+n2n+1=（n1）2n+1+2点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，确定数列的通项是关键18（12分）（2013黑龙江二模）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了 50名市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：月收入15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数4812521将月收入不低于55的人群称为“高收人族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”（I）根据已知条件完成下面的2x2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提 下认为非高收入族赞成楼市限购令？非高收入族高收入族总计赞成不赞成总计（II）现从月收入在15，25）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率附：K2=P（k2k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879考点：独立性检验的应用专题：概率与统计分析：（I）利用数据，可得2x2列联表，计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（II）设收入在15，25）的被调查者中赞成的分别是A1，A2，A3，A4，不赞成的是B，列出从中选出两人的所有结果和恰好有1人不赞成的情形，根据古典概型的公式进行求解即可解答：解：（I）由题意，可得2x2列联表，非高收入族高收入族总计赞成29332不赞成11718总计401050假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系，则K2=6.2726.635不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令；（II）由题意，月收入在15，25）中，有4人赞成楼市限购令，1人不赞成的，赞成的分别是A1，A2，A3，A4，不赞成的是B，从中选出两人的所有结果有：（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A1B），（A2A3），（A2A4），（A2B），（A3A4），（A3B），（A4B），共10个基本事件，其中所抽取的两人都赞成楼市限购令的有：（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A2A3），（A2A4），（A3A4），有6个基本事件，所以选所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率是P=0.6点评：本题考查22列联表的作法，考查独立性检验知识，考查古典概率的计算，属于中档题19（12分）（2013黑龙江二模）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE（I）若F为PE的中点，求证BF平面ACE；（II）求三棱锥PACE的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点设AC与BD的交点为O，则OE是BDF的中位线，故有BFOE，再根据直线和平面平行的判定定理证得 BF平面ACE（II）由条件证明CD平面PAE，再根据三棱锥PACE的体积VPACE=VCPAE=SPAECD=（PAPD）AB=PAPDAB，运算求得结果解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点设AC与BD的交点为O，则OE是BDF的中位线，故有BFOE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF平面ACE（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CDPA，CDAD，故CD平面PAE，三棱锥PACE的体积VPACE=VCPAE=SPAECD=（SPAD）AB=（PAPD）AB=PAPDAB=121=点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题20（12分）（2013黑龙江二模）已知椭圆C：+=1（ab0）经过A（2，0）和B（1，）两点，O为坐标原点（I ）求椭圆C的方程；（II）若以点O为端点的两条射线与椭圆c分别相交于点M，N且丄，证明：点O到直线MN的距离为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）利用椭圆C：+=1（ab0）经过A（2，0）和B（1，）两点，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（II）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论解答：（I）解：椭圆C：+=1（ab0）经过A（2，0）和B（1，）两点，椭圆C的方程为；（II）证明：当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=，则点O到直线MN的距离为；当直线MN的斜率存在时，其方程为y=kx+m，设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，则x1+x2=，x1x2=令0，解得m24k2+3，丄，x1x2+y1y2=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）km+m2=0，4k2+3点O到直线MN的距离为=，由可得点O到直线MN的距离为定值点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查点到直线的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）（2013黑龙江二模）已知函数f（x）=xlnx（I ）设g（x）=f（x）ax，若不等式g（x）1对一切xe （0，+）恒成立，求实数a 的取值范围；（II）设0x1x2，若实数x0满足，f（x0）=，证明：x1x0x2考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（I ）不等式g（x）1对一切x（0，+）恒成立，等价于对一切x（0，+），g（x）max1成立，求导数，确定函数的最大值，即可求实数a 的取值范围；（II）求导数，利用导数的意义，借助于函数的单调性，即可证得结论解答：（I ）解：不等式g（x）1对一切x（0，+）恒成立，等价于对一切x（0，+），g（x）max1成立设g（x）=f（x）ax，x0，则g（x）=lnx+1a令g（x）0，则xea1，令g（x）0，则0xea1，g（x）max=g（ea1）=ea11，a1；（II）证明：由题意f（x）=lnx+1，则f（x0）=lnx0+1，=令=t，则，t1令u（t）=lntt+1，则0，u（t）在（1，+）上单调递减u（t）u（1）=0，lnx0lnx2，x0x2；=令=t，则，t1令v（t）=tlntt+1，则v（t）=lnt0，v（t）在（1，+）上单调递增v（t）v（1）=0，lnx0lnx1，x0x1由可得x1x0x2点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22（10分）（2013黑龙江二模）选修41：几何证明选讲如图，点C是O直径BE的延长线上一点，AC是O的切线，A为切点，ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F，（）求ADF的值（）若AB=AC，求的值考点：与圆有关的比例线段专题：直线与圆分析：（I）利用切线的性质和角平分线的性质可得ADF=AFD再利用BE是O直径，可得BAE=90即可得到ADF=45（II）利用等边对等角B=ACB=EAC由（I）得BAE=90，B+AEB=B+ACE+EAC=3B=90，即可得到B=30进而得到ACEBCA，于是=tan30解答：解：（I）AC是O的切线，B=EAC又DC是ACB的平分线，ACD=DCB，B+DCB=EAC+ACD，ADF=AFDBE是O直径，BAE=90ADF=45（II）AB=AC，B=ACB=EAC由（I）得BAE=90，B+AEB=B+ACE+EAC=3B=90，B=30B=EAC，ACB=ACB，ACEBCA，=ta