线性代数第五章第二节矩阵的相似与矩阵的对角化.ppt

第五章第二节 矩阵的相似与对角化 相似矩阵的定义及性质 定义 设都是阶矩阵 若存在可逆矩阵 使得 则称矩阵是矩阵的相似矩阵 对进行运算称为对进行相似变换 可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵 性质1矩阵的相似关系是一种等价关系 P可逆 推论 若矩阵与对角阵相似 则是的个特征值 性质3 性质2 3的逆均不真 利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式 我们将A化为与之相似的对角形矩阵 它的高次幂就容易表出 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 证明 用相似变换将方阵对角化 定理得证 注意 如果的特征方程有重根 此时不一定有个线性无关的特征向量 从而矩阵不一定能对角化 但如果能找到个线性无关的特征向量 就能对角化 定理2方阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的 证明设 1 2 m是A的m个不同的特征值 1 2 m依次是与之对应的特征向量 现要证 1 2 m线性无关 观察方程组x1 1 x2 2 xm m 0 等式两边左乘A A x1 1 x2 2 xm m A0即 1x1 1 2x2 2 mxm m 0 x1a1 x2a2 xmam 0 即l1x1a1 l2x2a2 lmxmam 0 一次次地左乘A 得 把上面m个等式合写成矩阵形式 即 上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式 由于li各不相同 故此行列式不等于零 因而此矩阵可逆 在此等式两边右乘此矩阵的逆矩阵 有 x1a1 x2a2 xmam 0 0 0 即xjaj 0j 1 m 由于aj 0 故xj 0所以向量组a1 a2 am线性无关 例1设矩阵 求 1 与A相似的对角矩阵 2 相似变换矩阵P 3 A100 因为 解 所以A有两个特征值 1 显然 A有三个线性无关的特征向量 所以A与对角矩阵 相似 2 以作为列向量 得矩阵 不唯一 排列顺序可以不同 因为 则 3 依此类推 得知 又由 例2已知矩阵 1 求x与y 2 求一个满足的可逆矩阵P 考虑从着手求参数 有时可以从迹相等入手 即 由上式得 解 因A与B相似 故 比较等式两边 的系数 得 x 0y 1 此时 2 由B知A的特征值为2 1 且分别可求得A的特征向量 以为列向量作矩阵则P可逆 且 由特征值 特征向量反求矩阵 例3 已知方阵的特征值是 相应的特征向量是 解 因为特征向量是3维向量 所以矩阵是3阶方阵 因为有3个不同的特征值 所以可以对角化 即存在可逆矩阵 使得 其中 求得 因为复根必成对共轭出现 故l1与l2不可能是复的 故l1与l2为实根 由l1l2 0 知l1 l2 于是由定理1推论知 二阶矩阵有二个单根 则必可对角化 例4设二阶矩阵A A 0 证明 A必可对角化 证明 A 1 2 0 定理4方阵A的k重特征值 0所对应的特征向量至多有k个 定理5方阵A可对角化的充要条件是 A的ki重特征值 i恰好有ki个线性无关的特征向量 推论方阵A可对角化的充要条件是 A的ki重特征值 i矩阵 iE A的秩恰好是n ki 1 两矩阵等价必相似吗 反之呢 2 若n阶矩阵A B相似 则相似吗 思考题 2 相似