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文档简介

三 线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解 Y x 是相应齐次方程的通解 定理3 则 是非齐次方程的通解 证 将 代入方程 左端 得 是非齐次方程的解 又Y中含有 两个独立任意常数 例如 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 因而 也是通解 定理4 分别是方程 的特解 是方程 的特解 非齐次方程之解的叠加原理 定理3 定理4均可推广到n阶线性非齐次方程 定理5 是对应齐次方程的n个线性 无关特解 给定n阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数 则该方程的通解是 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解 是任意 例3 提示 都是对应齐次方程的解 二者线性无关 反证法可证 89考研 例4 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 解 是对应齐次方程的解 且 常数 因而线性无关 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 四 常数变易法 复习 常数变易法 对应齐次方程的通解 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形1 已知对应齐次方程通解 设 的解为 由于有两个待定函数 所以要建立两个方程 令 于是 将以上结果代入方程 得 故 的系数行列式 积分得 代入 即得非齐次方程的通解 于是得 说明 将 的解设为 只有一个必须满足的条件即方程 因此必需再附加一 个条件 方程 的引入是为了简化计算 例5 的通解为 的通解 解 将所给
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