实变函数复习题.doc

复习题1一、判断1、若N是自然数集，为正偶数集，则N与对等。（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。（对）3、若是上的有限个集，则下式 成立。 （对）4、任意多个开集的交集一定是开集。（错）5、有限点集和可列点集都可测。（对）6、可列个零测集之并不是零测集。（对）7、若开集是开集的真子集，则一定有。（错）8、对于有界集，必有。（对）9、任何点集E上的常数函数=C，是可测函数。（错）10、由在上可测可以推出在上可测。（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R对等，只需对每个，令 2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集 3、设都可测，则也可测，并且当为空集时，对于任意集合T总有 4、设E是任一可测集，则一定存在型集F，使，且 5、可测集上的 连续函数 是可测函数。6、设E是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。7、设是一个与集合E的点x有关的命题，如果存在E的子集M，适合mM=0，使得在EM上恒成立，也就是说，EE成立= 零测度集 ，则我们称在E上几乎处处成立。8、E为闭集的充要条件是 。9、设A、B是两个非空集合，若，则有 。三、证明1、证明：若，且，则有。证明：由条件易得， （1） （2）由于,而 ,已知,所以.而 ,由（1）（2）得。2、设为上的连续函数，则对任意的，、为闭集 证： 先证是闭集。设是的一个极限点，则中有点列，使. 由知.又由的连续性及极限不等性可得 . .即 .故 为闭集.4、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证： 显然，的收敛点集可表示为 =.由可测及都可测，所以在上可测。从而，对任一自然数，可测。故 可测。既然收敛点集可测，那么发散点集也可测。 实变函数复习题2 一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共10小题，每题1.5分，共101.5=15分）1、 中全体子集构成一个代数。 （ ）2、存在闭集使其余集仍为闭集。 （ ）3、 若是可测集，是的可测子集，则 。 ( ) 4、 无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。 ( ) 5、 可数个可数集的并集是可数集。 （ ）6、 、可数个集的交集不一定是集。 （ ）7、 若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在实数，使是可测集。 （ ）8、 若是可测集，是的可测子集，则 。 ( ) 9、若是可测集，是上的非负可测函数，则在上一定可积。 ( ) 10、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。 ( ) 2、 选择题。（每道题只有一个答案正确，多选或者不选均为零分，每道题1.5分，共15分）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是开集，则（ B ）（A） （B）的内部 （C） （D）3、设是有理数，则下列正确的是（ B ）A ； ； ； 以上都不正确。4.、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 5、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数6、设是的单调函数，则（ C ）（A）不是的有界变差函数 （B）不是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）不在上几乎处处可导7、若至少有一个内点，则（ D ）（A）可以等于零 （B）是可数集 （C）可能是可数集 （D）8、设是中的无理点全体，则（C ）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）9、设在可测集上可积，则（ D ）（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和不都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积10、设是可测集，则的特征函数是 （ B）（A）在上不是简单函数 （B）在上的可测函数 （C）在上不是连续函数 （D）上的连续函数三、填空题（将正确的答案填在横线上，每道题1分，共10分）1、设为全集，为的两个子集，则 。2、设，如果满足，则是 闭 集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。四、证明题。1、上的全体无理数作成的集合其基数为c证明：设A为中的有理数集，B为上的无理数集，则,即又因为c所以=c2、 开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设A为开集，B为闭集，则 因为B为闭集，所以为开集因此A-B为开集；同上所设有又因为A为开集所以为闭集。因此B-A为闭集。3、 设A,B且，若A是可测集，证明证明：因为A是可测集，所以由卡拉泰奥多里条件得 (I)于是 (II)将(II)代入(I)得4、 设，存在两侧两列可测集，,使得 且（-）0，（n）则可测.证明：对于任意， ，所以 又因为 ，所以对于任意，令 ，由0 得所以是可测的又由于可测，有也是可测的所以是可测的。实变函数复习题3一、证明题：1、设在上，而成立，则有2、 证明：开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍然是闭集。3. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 4. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.二、选择题：1. A为可数集，B为有限或可数集，则为（A）A 可数集 B不可数集 C无法确定2、有C个（C表示连续基数）集的并集，若每个集的基数都是（C）A B C C 2C3、E为开集的充要条件是（A）A B C 4、A为开集。B为闭集，A-B为（）开集闭集可开可闭、设S1、S2都是可测，（B）A不可测 B可测 C 不确定6.下列命题错误的是（ ） A. 开集、闭集都是可测集 B可测集都是Borel集 C外测度为零的集是可测集D型集、型集都是可测集7.设是一列递降的可测集合，且，则有（ ） A. B C D以上都不对8.下列命题错误的是（ ） A. 若在上可测，则在上也可测 B可测集上的连续函数是可测函数C在上可积的充要条件是在上可积 D上任意一有界变差函数都可表示为两个增函数之差9.下列表达正确的是（ ） A. B C D三、填空题：2、 设, , 则.3、 ,因为存在两个集合之间的一一映射为.4、 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.5、 若集合满足, 则为集.6、 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:, .7、 设使闭区间中的全体无理数集, 则.8、 若, 则说在上.9、 设, ,若,则称是的聚点.10、 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有11、 , 则称在上依测度收敛于.12、 设, 则的子列, 使得.四、判断题1. 若可测, 且,则.（）2. 设为点集, , 则是的外点. （）3. 点集的闭集. （）4. 任意多个闭集的并集是闭集. （）5. 若,满足, 则为无限集合.（）6. 任意无限集合都至少包含一个可数子集。（）7. 设是一列相交的集合，它们的基数都是，则的基数是。（）8. 为闭集的充要条件是。（）9. 集合的交或并满足交换率、结合率、分配率。（）10. 任意无限集合都至少包含一个可数子集。（）答案一证明答案：、证明：设，则。， 所以因为，所以即 2、证：设A为 开集，B为闭集则A-B=B为闭集的补集为开集故为开集由A为开集 则为闭集B-A为闭集3、中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集. 4、 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.二、选择题答案：1、A 2、C 3、A 4、A 5 、B 6.B7.C8.A9.D 10、三、填空题答案：1、.2、 3、 ; .4、 闭集.5、 6、 .7、 几乎处处